(1) $\int \frac{dx}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}$ を求める。 (2) $\int \frac{x}{\sqrt{3x+4}-2} dx$ を求める。

1. 問題の内容

(1) $\int \frac{dx}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}$ を求める。

(2) $\int \frac{x}{\sqrt{3x+4}-2} dx$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 分母を有理化する。

$\int \frac{dx}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}} = \int \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} dx = \int \frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{x+1-x} dx = \int (\sqrt{x+1}+\sqrt{x})dx$

$\int (\sqrt{x+1}+\sqrt{x})dx = \int ((x+1)^{1/2} + x^{1/2}) dx = \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} + \frac{2}{3}x^{3/2} + C$

(2) 分母を有理化する。

$\int \frac{x}{\sqrt{3x+4}-2} dx = \int \frac{x(\sqrt{3x+4}+2)}{(\sqrt{3x+4}-2)(\sqrt{3x+4}+2)} dx = \int \frac{x(\sqrt{3x+4}+2)}{3x+4-4} dx = \int \frac{x(\sqrt{3x+4}+2)}{3x} dx = \int \frac{\sqrt{3x+4}+2}{3} dx = \frac{1}{3} \int (\sqrt{3x+4}+2) dx$

$\frac{1}{3} \int (\sqrt{3x+4}+2) dx = \frac{1}{3} \int ((3x+4)^{1/2}+2) dx = \frac{1}{3} (\frac{2}{3} (3x+4)^{3/2} \cdot \frac{1}{3} + 2x) + C = \frac{2}{27}(3x+4)^{3/2} + \frac{2}{3}x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3}(x+1)^{3/2} + \frac{2}{3}x^{3/2} + C$

(2) $\frac{2}{27}(3x+4)^{3/2} + \frac{2}{3}x + C$