(4) $\int_1^4 x^2\sqrt{x} dx$ を計算する問題。 (5) $\int_0^1 (\sqrt[7]{x^4} - 6\sqrt[3]{x} + 3) dx$ を計算する問題。

1. 問題の内容

(4) $\int_1^4 x^2\sqrt{x} dx$ を計算する問題。

(5) $\int_0^1 (\sqrt[7]{x^4} - 6\sqrt[3]{x} + 3) dx$ を計算する問題。

2. 解き方の手順

(4) まず、被積分関数を整理します。

$x^2\sqrt{x} = x^2 x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{5}{2}}$

次に、積分を計算します。

$\int_1^4 x^{\frac{5}{2}} dx = \left[ \frac{x^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}} \right]_1^4 = \frac{2}{7} \left[ x^{\frac{7}{2}} \right]_1^4$

積分範囲を代入して計算します。

$\frac{2}{7} (4^{\frac{7}{2}} - 1^{\frac{7}{2}}) = \frac{2}{7} ((4^{\frac{1}{2}})^7 - 1) = \frac{2}{7} (2^7 - 1) = \frac{2}{7} (128 - 1) = \frac{2}{7} (127) = \frac{254}{7}$

(5) まず、被積分関数を整理します。

$\sqrt[7]{x^4} = x^{\frac{4}{7}}$

$\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$

したがって、

$\int_0^1 (x^{\frac{4}{7}} - 6x^{\frac{1}{3}} + 3) dx$

次に、積分を計算します。

$\int_0^1 (x^{\frac{4}{7}} - 6x^{\frac{1}{3}} + 3) dx = \left[ \frac{x^{\frac{11}{7}}}{\frac{11}{7}} - 6 \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + 3x \right]_0^1 = \left[ \frac{7}{11} x^{\frac{11}{7}} - \frac{18}{4} x^{\frac{4}{3}} + 3x \right]_0^1$

積分範囲を代入して計算します。

$\left( \frac{7}{11} (1)^{\frac{11}{7}} - \frac{9}{2} (1)^{\frac{4}{3}} + 3(1) \right) - \left( \frac{7}{11} (0)^{\frac{11}{7}} - \frac{9}{2} (0)^{\frac{4}{3}} + 3(0) \right) = \frac{7}{11} - \frac{9}{2} + 3 = \frac{14}{22} - \frac{99}{22} + \frac{66}{22} = \frac{14 - 99 + 66}{22} = \frac{-19}{22}$

3. 最終的な答え

(4) $\frac{254}{7}$

(5) $-\frac{19}{22}$