定積分 $\int_{2}^{5} \sqrt{x^2} \, dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{2}^{5} \sqrt{x^2} \, dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を簡単にします。$\sqrt{x^2}$ は $|x|$ に等しくなります。しかし、積分区間 $[2, 5]$ において $x$ は常に正であるため、$|x| = x$ となります。したがって、積分は $\int_{2}^{5} x \, dx$ と書き直すことができます。

次に、$x$ の積分を計算します。$x$ の不定積分は $\frac{1}{2}x^2$ です。

$\int x \, dx = \frac{1}{2}x^2 + C$

したがって、定積分は以下のように計算できます。

$\int_{2}^{5} x \, dx = \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{2}^{5}$

積分区間の上限と下限を代入します。

$\frac{1}{2}(5^2) - \frac{1}{2}(2^2) = \frac{1}{2}(25) - \frac{1}{2}(4) = \frac{25}{2} - \frac{4}{2} = \frac{21}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{21}{2}$