次の2つの定積分を計算します。 (1) $\int_{1}^{2} \frac{dx}{x^4}$ (2) $\int_{2}^{0} \sqrt{x^2} dx$

1. 問題の内容

次の2つの定積分を計算します。

(1) $\int_{1}^{2} \frac{dx}{x^4}$

(2) $\int_{2}^{0} \sqrt{x^2} dx$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\frac{1}{x^4}$ の不定積分を求めます。

$\frac{1}{x^4} = x^{-4}$ なので、

$\int x^{-4} dx = \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3x^3} + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{2} \frac{dx}{x^4} = \left[-\frac{1}{3x^3}\right]_{1}^{2} = -\frac{1}{3(2^3)} - \left(-\frac{1}{3(1^3)}\right) = -\frac{1}{24} + \frac{1}{3} = \frac{-1+8}{24} = \frac{7}{24}$

(2)

$\sqrt{x^2} = |x|$ です。積分区間は2から0なので$x$は正であり、$|x| = x$となります。

$\int_{2}^{0} \sqrt{x^2} dx = \int_{2}^{0} x dx$

$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C$

$\int_{2}^{0} x dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{2}^{0} = \frac{0^2}{2} - \frac{2^2}{2} = 0 - \frac{4}{2} = -2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7}{24}$

(2) $-2$