$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x$ を計算します。

2. 解き方の手順

この極限は不定形 $0 \cdot \infty$ の形をしています。そこで、$\tan x$ を $\frac{\sin x}{\cos x}$ と書き換え、さらに$\frac{0}{0}$の形に変形してからロピタルの定理を用いることを考えます。

まず、与えられた極限を書き換えます。

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \tan x = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (x - \frac{\pi}{2}) \frac{\sin x}{\cos x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{(x - \frac{\pi}{2}) \sin x}{\cos x}$

$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき、分子は $(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}) \sin(\frac{\pi}{2}) = 0 \cdot 1 = 0$ に近づき、分母は $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ に近づきます。

したがって、この極限は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用できます。

ロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{(x - \frac{\pi}{2}) \sin x}{\cos x} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{d}{dx} [(x - \frac{\pi}{2}) \sin x]}{\frac{d}{dx} [\cos x]}$

分子の導関数は積の微分法則より、

$\frac{d}{dx} [(x - \frac{\pi}{2}) \sin x] = (1) \sin x + (x - \frac{\pi}{2}) \cos x = \sin x + (x - \frac{\pi}{2}) \cos x$

分母の導関数は、

$\frac{d}{dx} [\cos x] = -\sin x$

したがって、

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin x + (x - \frac{\pi}{2}) \cos x}{-\sin x}$

$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき、分子は $\sin(\frac{\pi}{2}) + (\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}) \cos(\frac{\pi}{2}) = 1 + 0 \cdot 0 = 1$ に近づき、分母は $-\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$ に近づきます。

したがって、

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin x + (x - \frac{\pi}{2}) \cos x}{-\sin x} = \frac{1}{-1} = -1$

3. 最終的な答え

-1