定積分 $\int_{2}^{0} \sqrt[5]{x^2} \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{2}^{0} \sqrt[5]{x^2} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を指数関数として書き換えます。

$\sqrt[5]{x^2} = x^{\frac{2}{5}}$

次に、不定積分を計算します。

$\int x^{\frac{2}{5}} \, dx = \frac{x^{\frac{2}{5} + 1}}{\frac{2}{5} + 1} + C = \frac{x^{\frac{7}{5}}}{\frac{7}{5}} + C = \frac{5}{7}x^{\frac{7}{5}} + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{2}^{0} x^{\frac{2}{5}} \, dx = \left[ \frac{5}{7}x^{\frac{7}{5}} \right]_{2}^{0} = \frac{5}{7}(0^{\frac{7}{5}}) - \frac{5}{7}(2^{\frac{7}{5}}) = 0 - \frac{5}{7}(2^{\frac{7}{5}}) = -\frac{5}{7}(2^{\frac{7}{5}})$

$2^{\frac{7}{5}}$ は $2^{1.4}$ と同じです。これは $2 \cdot 2^{0.4}$ と書けます。$2^{0.4}$ は約1.3195なので、$2^{1.4}$ は約 $2.639$ になります。

$-\frac{5}{7}(2^{\frac{7}{5}}) = -\frac{5}{7}(2^{1.4}) \approx -\frac{5}{7} \times 2.639 = -\frac{13.195}{7} \approx -1.885$

3. 最終的な答え

$\int_{2}^{0} \sqrt[5]{x^2} \, dx = -\frac{5}{7} \cdot 2^{\frac{7}{5}}$

あるいは近似値として $-1.885$