定積分 $\int_1^e \left( \frac{x-1}{x} \right)^2 dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_1^e \left( \frac{x-1}{x} \right)^2 dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を整理します。

$$\left( \frac{x-1}{x} \right)^2 = \left( 1 - \frac{1}{x} \right)^2 = 1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}$$

よって、

$$\int_1^e \left( \frac{x-1}{x} \right)^2 dx = \int_1^e \left( 1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} \right) dx$$

積分を計算します。

$$\int_1^e \left( 1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} \right) dx = \left[ x - 2\ln|x| - \frac{1}{x} \right]_1^e$$

積分区間を代入します。

$$\left[ x - 2\ln|x| - \frac{1}{x} \right]_1^e = \left( e - 2\ln e - \frac{1}{e} \right) - \left( 1 - 2\ln 1 - \frac{1}{1} \right)$$

$\ln e = 1$ および $\ln 1 = 0$ であるから、

$$\left( e - 2 - \frac{1}{e} \right) - \left( 1 - 0 - 1 \right) = e - 2 - \frac{1}{e} - 0 = e - 2 - \frac{1}{e}$$

$$e - 2 - \frac{1}{e} = \frac{e^2 - 2e - 1}{e}$$

3. 最終的な答え

$\frac{e^2 - 2e - 1}{e}$