1. 問題の内容
定積分 を計算する問題です。
2. 解き方の手順
まず、積分の中の関数を展開します。
(\frac{x-1}{x})^2 = (\frac{x}{x} - \frac{1}{x})^2 = (1 - \frac{1}{x})^2 = 1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}
したがって、積分は
\int_{1}^{e} (1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}) dx
となります。
次に、各項を個別に積分します。
\int 1 dx = x
\int \frac{2}{x} dx = 2 \int \frac{1}{x} dx = 2 \ln |x|
\int \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx = -x^{-1} = -\frac{1}{x}
したがって、不定積分は
x - 2 \ln |x| - \frac{1}{x}
となります。
次に、定積分の値を計算します。
\int_{1}^{e} (1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}) dx = [x - 2 \ln |x| - \frac{1}{x}]_{1}^{e}
= (e - 2 \ln e - \frac{1}{e}) - (1 - 2 \ln 1 - \frac{1}{1})
= (e - 2(1) - \frac{1}{e}) - (1 - 2(0) - 1)
= (e - 2 - \frac{1}{e}) - (1 - 0 - 1)
= e - 2 - \frac{1}{e} - 0
= e - 2 - \frac{1}{e}
= e - \frac{1}{e} - 2