与えられた積分を計算します。積分は $\int \frac{\cos x}{(8 + \sin x)^4} dx$ です。ただし、$u = \sin x$ という変数変換を行います。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は $\int \frac{\cos x}{(8 + \sin x)^4} dx$ です。ただし、$u = \sin x$ という変数変換を行います。

2. 解き方の手順

まず、$u = \sin x$ と置換します。このとき、$du = \cos x \, dx$ となります。したがって、積分は以下のようになります。

$\int \frac{\cos x}{(8 + \sin x)^4} dx = \int \frac{1}{(8+u)^4} du$

次に、$v = 8 + u$ と置換します。このとき、$dv = du$ となります。したがって、積分は以下のようになります。

$\int \frac{1}{(8+u)^4} du = \int \frac{1}{v^4} dv = \int v^{-4} dv$

$v^{-4}$ の積分は $\frac{v^{-3}}{-3}$ となります。したがって、

$\int v^{-4} dv = \frac{v^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3v^3} + C$

次に、$v = 8+u$ を代入して、$u = \sin x$ を代入します。

$-\frac{1}{3v^3} + C = -\frac{1}{3(8+u)^3} + C = -\frac{1}{3(8+\sin x)^3} + C$

3. 最終的な答え

最終的な答えは、

$-\frac{1}{3(8+\sin x)^3} + C$

となります。