与えられた8つの関数をそれぞれ微分する問題です。

## 微分問題の解答

1. 問題の内容

与えられた8つの関数をそれぞれ微分する問題です。

2. 解き方の手順

**(1) $y = \sin^3 4x$**

合成関数の微分法を用いる。

$y' = 3\sin^2 4x \cdot (\sin 4x)' = 3\sin^2 4x \cdot (\cos 4x \cdot 4) = 12\sin^2 4x \cos 4x$

**(2) $y = \frac{1}{\cos x}$**

$y = (\cos x)^{-1}$ と変形して、合成関数の微分法を用いる。

$y' = -1(\cos x)^{-2} \cdot (-\sin x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} = \tan x \sec x$

**(3) $y = \sqrt{\tan x}$**

$y = (\tan x)^{1/2}$ と変形して、合成関数の微分法を用いる。

$y' = \frac{1}{2}(\tan x)^{-1/2} \cdot (\tan x)' = \frac{1}{2\sqrt{\tan x}} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{2\sqrt{\tan x}\cos^2 x}$

**(4) $y = e^{-3x} \sin 2x$**

積の微分法を用いる。

$y' = (e^{-3x})' \sin 2x + e^{-3x} (\sin 2x)' = -3e^{-3x} \sin 2x + e^{-3x} (2\cos 2x) = e^{-3x}(-3\sin 2x + 2\cos 2x)$

**(5) $y = \log |1-x^2|$**

合成関数の微分法を用いる。

$y' = \frac{1}{1-x^2} \cdot (1-x^2)' = \frac{-2x}{1-x^2}$

**(6) $y = \log |\tan x|$**

合成関数の微分法を用いる。

$y' = \frac{1}{\tan x} \cdot (\tan x)' = \frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{2\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}$

**(7) $y = \frac{1}{\log(x^2+1)}$**

$y = (\log(x^2+1))^{-1}$ と変形して、合成関数の微分法を用いる。

$y' = -1(\log(x^2+1))^{-2} \cdot (\log(x^2+1))' = \frac{-1}{(\log(x^2+1))^2} \cdot \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{-2x}{(x^2+1)(\log(x^2+1))^2}$

**(8) $y = \frac{\log(1-x^2)}{e^{2x}}$**

商の微分法を用いる。

$y' = \frac{(\log(1-x^2))' e^{2x} - \log(1-x^2) (e^{2x})'}{(e^{2x})^2} = \frac{\frac{1}{1-x^2}(-2x)e^{2x} - \log(1-x^2) \cdot 2e^{2x}}{e^{4x}} = \frac{e^{2x}(\frac{-2x}{1-x^2} - 2\log(1-x^2))}{e^{4x}} = \frac{\frac{-2x}{1-x^2} - 2\log(1-x^2)}{e^{2x}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 12\sin^2 4x \cos 4x$

(2) $y' = \tan x \sec x$

(3) $y' = \frac{1}{2\sqrt{\tan x}\cos^2 x}$

(4) $y' = e^{-3x}(-3\sin 2x + 2\cos 2x)$

(5) $y' = \frac{-2x}{1-x^2}$

(6) $y' = \frac{2}{\sin 2x}$

(7) $y' = \frac{-2x}{(x^2+1)(\log(x^2+1))^2}$

(8) $y' = \frac{\frac{-2x}{1-x^2} - 2\log(1-x^2)}{e^{2x}}$