与えられた2つの関数を微分する問題です。関数はどちらも対数関数を含んでいます。 (1) $y = \log \frac{(x+2)^3}{(2x+1)^2}$ (2) $y = \log \frac{x\sqrt{2x+1}}{(2x-1)^2}$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数を微分する問題です。関数はどちらも対数関数を含んでいます。

(1) $y = \log \frac{(x+2)^3}{(2x+1)^2}$

(2) $y = \log \frac{x\sqrt{2x+1}}{(2x-1)^2}$

2. 解き方の手順

対数関数の微分と、合成関数の微分を利用します。対数の性質を使って式を簡単化してから微分すると計算が楽になります。

(1)

まず、対数の性質を使って式を簡単化します。

$y = \log (x+2)^3 - \log (2x+1)^2 = 3\log (x+2) - 2\log (2x+1)$

次に、各項を微分します。

$\frac{d}{dx} \log (x+2) = \frac{1}{x+2}$

$\frac{d}{dx} \log (2x+1) = \frac{2}{2x+1}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot \frac{1}{x+2} - 2 \cdot \frac{2}{2x+1} = \frac{3}{x+2} - \frac{4}{2x+1}$

通分して整理します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3(2x+1) - 4(x+2)}{(x+2)(2x+1)} = \frac{6x+3 - 4x - 8}{(x+2)(2x+1)} = \frac{2x-5}{(x+2)(2x+1)}$

(2)

まず、対数の性質を使って式を簡単化します。

$y = \log (x\sqrt{2x+1}) - \log (2x-1)^2 = \log x + \log \sqrt{2x+1} - 2\log (2x-1) = \log x + \frac{1}{2} \log (2x+1) - 2\log (2x-1)$

次に、各項を微分します。

$\frac{d}{dx} \log x = \frac{1}{x}$

$\frac{d}{dx} \log (2x+1) = \frac{2}{2x+1}$

$\frac{d}{dx} \log (2x-1) = \frac{2}{2x-1}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2x+1} - 2 \cdot \frac{2}{2x-1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{2x+1} - \frac{4}{2x-1}$

通分して整理します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(2x+1)(2x-1) + x(2x-1) - 4x(2x+1)}{x(2x+1)(2x-1)} = \frac{4x^2 - 1 + 2x^2 - x - 8x^2 - 4x}{x(2x+1)(2x-1)} = \frac{-2x^2 - 5x - 1}{x(2x+1)(2x-1)}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x-5}{(x+2)(2x+1)}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^2 - 5x - 1}{x(2x+1)(2x-1)}$