与えられた6つの関数をそれぞれ微分せよ。 (1) $y = \sin^{-1}(4x)$ (2) $y = \cos^{-1}(\frac{x}{4})$ (3) $y = \tan^{-1}(\frac{3}{4}x)$ (4) $y = \sin^{-1}(\frac{2}{x})$ ($x \ge 2$) (5) $y = \frac{\sin^{-1}x}{\cos^{-1}x}$ (6) $y = \sqrt{\tan^{-1}x}$

1. 問題の内容

与えられた6つの関数をそれぞれ微分せよ。

(1) $y = \sin^{-1}(4x)$

(2) $y = \cos^{-1}(\frac{x}{4})$

(3) $y = \tan^{-1}(\frac{3}{4}x)$

(4) $y = \sin^{-1}(\frac{2}{x})$ ($x \ge 2$)

(5) $y = \frac{\sin^{-1}x}{\cos^{-1}x}$

(6) $y = \sqrt{\tan^{-1}x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin^{-1}(4x)$ の微分

$\frac{d}{dx}\sin^{-1}u = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \frac{du}{dx}$ を用いる。$u = 4x$ なので、$\frac{du}{dx} = 4$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(4x)^2}} \cdot 4 = \frac{4}{\sqrt{1-16x^2}}$

(2) $y = \cos^{-1}(\frac{x}{4})$ の微分

$\frac{d}{dx}\cos^{-1}u = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \frac{du}{dx}$ を用いる。$u = \frac{x}{4}$ なので、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{4}$。

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{4})^2}} \cdot \frac{1}{4} = -\frac{1}{4\sqrt{1-\frac{x^2}{16}}} = -\frac{1}{4\sqrt{\frac{16-x^2}{16}}} = -\frac{1}{4\cdot\frac{\sqrt{16-x^2}}{4}} = -\frac{1}{\sqrt{16-x^2}}$

(3) $y = \tan^{-1}(\frac{3}{4}x)$ の微分

$\frac{d}{dx}\tan^{-1}u = \frac{1}{1+u^2} \frac{du}{dx}$ を用いる。$u = \frac{3}{4}x$ なので、$\frac{du}{dx} = \frac{3}{4}$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(\frac{3}{4}x)^2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4(1+\frac{9}{16}x^2)} = \frac{3}{4+\frac{9}{4}x^2} = \frac{12}{16+9x^2}$

(4) $y = \sin^{-1}(\frac{2}{x})$ の微分

$\frac{d}{dx}\sin^{-1}u = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \frac{du}{dx}$ を用いる。$u = \frac{2}{x}$ なので、$\frac{du}{dx} = -\frac{2}{x^2}$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{2}{x})^2}} \cdot (-\frac{2}{x^2}) = -\frac{2}{x^2\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}} = -\frac{2}{x^2\sqrt{\frac{x^2-4}{x^2}}} = -\frac{2}{x^2\cdot\frac{\sqrt{x^2-4}}{|x|}} = -\frac{2}{x^2\cdot\frac{\sqrt{x^2-4}}{x}} = -\frac{2}{x\sqrt{x^2-4}}$ (∵ $x \ge 2$ より $|x|=x$)

(5) $y = \frac{\sin^{-1}x}{\cos^{-1}x}$ の微分

$\frac{d}{dx}\frac{u}{v} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}$ を用いる。$u = \sin^{-1}x$ なので、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。$v = \cos^{-1}x$ なので、$\frac{dv}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos^{-1}x\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \sin^{-1}x\cdot(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})}{(\cos^{-1}x)^2} = \frac{\frac{\cos^{-1}x + \sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}}{(\cos^{-1}x)^2} = \frac{\cos^{-1}x + \sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}(\cos^{-1}x)^2}$

$\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}$ であるので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1-x^2}(\cos^{-1}x)^2} = \frac{\pi}{2\sqrt{1-x^2}(\cos^{-1}x)^2}$

(6) $y = \sqrt{\tan^{-1}x}$ の微分

$\frac{d}{dx}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{du}{dx}$ を用いる。$u = \tan^{-1}x$ なので、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{1+x^2}$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\tan^{-1}x}} \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{2(1+x^2)\sqrt{\tan^{-1}x}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{4}{\sqrt{1-16x^2}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{16-x^2}}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{12}{16+9x^2}$

(4) $\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{x\sqrt{x^2-4}}$

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{\pi}{2\sqrt{1-x^2}(\cos^{-1}x)^2}$

(6) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(1+x^2)\sqrt{\tan^{-1}x}}$