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定積分 $\int_{-1}^{1} (3x+2)(x-2) dx$ を計算します。

解析学定積分積分多項式
2025/7/8

1. 問題の内容

定積分 ∫−11(3x+2)(x−2)dx\int_{-1}^{1} (3x+2)(x-2) dx を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。
(3x+2)(x−2)=3x2−6x+2x−4=3x2−4x−4(3x+2)(x-2) = 3x^2 -6x + 2x - 4 = 3x^2 - 4x - 4
次に、不定積分を求めます。
∫(3x2−4x−4)dx=x3−2x2−4x+C\int (3x^2 - 4x - 4) dx = x^3 - 2x^2 - 4x + C
最後に、定積分を計算します。
∫−11(3x2−4x−4)dx=[x3−2x2−4x]−11\int_{-1}^{1} (3x^2 - 4x - 4) dx = [x^3 - 2x^2 - 4x]_{-1}^{1}
=(13−2(1)2−4(1))−((−1)3−2(−1)2−4(−1))= (1^3 - 2(1)^2 - 4(1)) - ((-1)^3 - 2(-1)^2 - 4(-1))
=(1−2−4)−(−1−2+4)= (1 - 2 - 4) - (-1 - 2 + 4)
=−5−(1)= -5 - (1)
=−6= -6

3. 最終的な答え

-6

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