曲線 $C: y = x^2$ 上の点 $P(a, a^2)$ における接線を $l_1$、点 $Q(b, b^2)$ における接線を $l_2$ とする。ただし、$a < b$ とする。$l_1$ と $l_2$ の交点を $R$ とし、線分 $PR$, 線分 $QR$ および曲線 $C$ で囲まれる図形の面積を $S$ とする。 (1) $R$ の座標を $a$ と $b$ を用いて表せ。 (2) $S$ を $a$ と $b$ を用いて表せ。 (3) $l_1$ と $l_2$ が垂直であるときの $S$ の最小値を求めよ。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = x^2$ 上の点 $P(a, a^2)$ における接線を $l_1$、点 $Q(b, b^2)$ における接線を $l_2$ とする。ただし、$a < b$ とする。$l_1$ と $l_2$ の交点を $R$ とし、線分 $PR$, 線分 $QR$ および曲線 $C$ で囲まれる図形の面積を $S$ とする。

(1) $R$ の座標を $a$ と $b$ を用いて表せ。

(2) $S$ を $a$ と $b$ を用いて表せ。

(3) $l_1$ と $l_2$ が垂直であるときの $S$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点 $P(a, a^2)$ における接線 $l_1$ の方程式を求める。$y = x^2$ を微分すると $y' = 2x$ であるから、$l_1$ の傾きは $2a$ となる。よって、$l_1$ の方程式は

$y - a^2 = 2a(x - a)$

$y = 2ax - a^2$

同様に、点 $Q(b, b^2)$ における接線 $l_2$ の方程式を求める。$l_2$ の傾きは $2b$ となる。よって、$l_2$ の方程式は

$y - b^2 = 2b(x - b)$

$y = 2bx - b^2$

$l_1$ と $l_2$ の交点 $R$ の座標を求めるためには、$l_1$ と $l_2$ の方程式を連立させて解けばよい。

$2ax - a^2 = 2bx - b^2$

$2(a - b)x = a^2 - b^2$

$x = \frac{a^2 - b^2}{2(a - b)} = \frac{(a - b)(a + b)}{2(a - b)} = \frac{a + b}{2}$

$x = \frac{a + b}{2}$ を $y = 2ax - a^2$ に代入すると

$y = 2a(\frac{a + b}{2}) - a^2 = a(a + b) - a^2 = ab$

よって、$R$ の座標は $(\frac{a + b}{2}, ab)$ である。

(2) 面積 $S$ は、$\int_a^b (x^2 - 2ax + a^2) dx + \int_a^b (-2bx + b^2 - x^2) dx$ではない。

線分$PR$の方程式は、$y = 2ax - a^2$である。

線分$QR$の方程式は、$y = 2bx - b^2$である。

$S = \int_a^{\frac{a+b}{2}} (x^2 - (2ax - a^2))dx + \int_{\frac{a+b}{2}}^b (x^2 - (2bx - b^2))dx$

$S = \int_a^{\frac{a+b}{2}} (x - a)^2 dx + \int_{\frac{a+b}{2}}^b (x - b)^2 dx$

$S = [\frac{1}{3}(x - a)^3]_a^{\frac{a+b}{2}} + [\frac{1}{3}(x - b)^3]_{\frac{a+b}{2}}^b$

$S = \frac{1}{3}(\frac{a+b}{2} - a)^3 - \frac{1}{3}(a - a)^3 + \frac{1}{3}(b - b)^3 - \frac{1}{3}(\frac{a+b}{2} - b)^3$

$S = \frac{1}{3}(\frac{b-a}{2})^3 - 0 + 0 - \frac{1}{3}(\frac{a-b}{2})^3$

$S = \frac{1}{3} \frac{(b-a)^3}{8} - \frac{1}{3} \frac{(a-b)^3}{8}$

$S = \frac{(b-a)^3}{24} - \frac{(a-b)^3}{24}$

$S = \frac{(b-a)^3}{24} - \frac{-(b-a)^3}{24} = \frac{2(b-a)^3}{24}$

$S = \frac{(b-a)^3}{12}$

(3) $l_1$ と $l_2$ が垂直であるとき、$2a \cdot 2b = -1$ より、$ab = -\frac{1}{4}$

$S = \frac{(b - a)^3}{12}$ を最小化することを考える。

$b - a = \sqrt{(b - a)^2} = \sqrt{(a + b)^2 - 4ab} = \sqrt{(a + b)^2 + 1}$

したがって、$b - a$ は $a + b = 0$ のとき最小となる。

$a + b = 0$ より、$b = -a$ であるから、$ab = -a^2 = -\frac{1}{4}$。

$a^2 = \frac{1}{4}$ より、$a = -\frac{1}{2}$、$b = \frac{1}{2}$。

$b - a = \frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}) = 1$

したがって、$S = \frac{1^3}{12} = \frac{1}{12}$

3. 最終的な答え

(1) R の座標： $(\frac{a + b}{2}, ab)$

(2) S： $S = \frac{(b - a)^3}{12}$

(3) $S$ の最小値： $\frac{1}{12}$