定積分 $I = \int_{\frac{1}{e}}^{e} |\log x| dx$ を計算します。ここで、$\log x$ の原始関数は $x \log x - x$ であることが与えられています。

1. 問題の内容

定積分 $I = \int_{\frac{1}{e}}^{e} |\log x| dx$ を計算します。ここで、$\log x$ の原始関数は $x \log x - x$ であることが与えられています。

2. 解き方の手順

まず、$|\log x|$ の絶対値を外します。

$0 < x < 1$ のとき $\log x < 0$ であり、$x > 1$ のとき $\log x > 0$ です。

したがって、$\frac{1}{e} \le x \le 1$ では $|\log x| = -\log x$ となり、$1 \le x \le e$ では $|\log x| = \log x$ となります。

よって、積分を2つに分割します。

$I = \int_{\frac{1}{e}}^{1} (-\log x) dx + \int_{1}^{e} (\log x) dx$

ここで、$F(x) = x\log x - x$ であることを用いると、

$\int (-\log x) dx = -x \log x + x$

$\int (\log x) dx = x \log x - x$

となるため、

$I = [-x \log x + x]_{\frac{1}{e}}^{1} + [x \log x - x]_{1}^{e}$

$I = (-1 \log 1 + 1) - (-\frac{1}{e} \log \frac{1}{e} + \frac{1}{e}) + (e \log e - e) - (1 \log 1 - 1)$

$\log 1 = 0$、$\log e = 1$、$\log \frac{1}{e} = \log e^{-1} = -1$ より、

$I = (0 + 1) - (-\frac{1}{e} (-1) + \frac{1}{e}) + (e \cdot 1 - e) - (0 - 1)$

$I = 1 - (\frac{1}{e} + \frac{1}{e}) + (e - e) - (-1)$

$I = 1 - \frac{2}{e} + 0 + 1$

$I = 2 - \frac{2}{e}$

3. 最終的な答え

$I = 2 - \frac{2}{e}$