与えられた積分を計算します。積分は以下の通りです。 $\int x \sqrt{2x - 3} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は以下の通りです。

$\int x \sqrt{2x - 3} dx$

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。

$u = 2x - 3$ と置くと、$du = 2 dx$ となり、$dx = \frac{1}{2} du$ です。

また、$x = \frac{u+3}{2}$ となります。

与えられた積分は以下のように書き換えられます。

$\int \frac{u+3}{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} du = \frac{1}{4} \int (u+3) \sqrt{u} du = \frac{1}{4} \int (u^{3/2} + 3u^{1/2}) du$

次に、それぞれの項を積分します。

$\int u^{3/2} du = \frac{2}{5}u^{5/2} + C_1$

$\int 3u^{1/2} du = 3 \cdot \frac{2}{3}u^{3/2} + C_2 = 2u^{3/2} + C_2$

よって、

$\frac{1}{4} \int (u^{3/2} + 3u^{1/2}) du = \frac{1}{4} (\frac{2}{5}u^{5/2} + 2u^{3/2}) + C = \frac{1}{10}u^{5/2} + \frac{1}{2}u^{3/2} + C$

最後に、$u = 2x - 3$ を代入します。

$\frac{1}{10}(2x-3)^{5/2} + \frac{1}{2}(2x-3)^{3/2} + C$

この式を整理します。

$\frac{1}{10}(2x-3)^{5/2} + \frac{5}{10}(2x-3)^{3/2} + C = \frac{1}{10}(2x-3)^{3/2}[(2x-3) + 5] + C = \frac{1}{10}(2x-3)^{3/2}(2x+2) + C = \frac{1}{5}(x+1)(2x-3)^{3/2} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{5}(x+1)(2x-3)^{3/2} + C$