(1) 定積分 $\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (6x^5 + 15x^4 - 12x^3 + 6x^2 - 8x - 1) dx$ を計算する。 (2) 定積分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin^3 x + \cos^3 x) dx$ を計算する。

はい、承知しました。問題文に沿って解答を作成します。

1. 問題の内容

(1) 定積分 $\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (6x^5 + 15x^4 - 12x^3 + 6x^2 - 8x - 1) dx$ を計算する。

(2) 定積分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin^3 x + \cos^3 x) dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1)

定積分の性質を利用して、偶関数と奇関数に分けて計算します。

$\int_{-a}^{a} f(x) dx = \int_{-a}^{a} f_{even}(x) dx + \int_{-a}^{a} f_{odd}(x) dx = 2\int_{0}^{a} f_{even}(x) dx$,　ただし、$f_{even}(x)$ は偶関数、$f_{odd}(x)$は奇関数です。

与えられた関数 $f(x) = 6x^5 + 15x^4 - 12x^3 + 6x^2 - 8x - 1$ について、偶関数と奇関数に分けます。

- 偶関数：$15x^4 + 6x^2 - 1$

- 奇関数：$6x^5 - 12x^3 - 8x$

よって、

$\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (6x^5 + 15x^4 - 12x^3 + 6x^2 - 8x - 1) dx = 2\int_{0}^{\sqrt{2}} (15x^4 + 6x^2 - 1) dx$

$2\int_{0}^{\sqrt{2}} (15x^4 + 6x^2 - 1) dx = 2[3x^5 + 2x^3 - x]_{0}^{\sqrt{2}} = 2[3(\sqrt{2})^5 + 2(\sqrt{2})^3 - \sqrt{2}] = 2[3(4\sqrt{2}) + 2(2\sqrt{2}) - \sqrt{2}] = 2[12\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - \sqrt{2}] = 2[15\sqrt{2}] = 30\sqrt{2}$

(2)

定積分の性質を利用して、偶関数と奇関数に分けて計算します。

与えられた関数 $f(x) = \sin^3 x + \cos^3 x$ について、偶関数と奇関数に分けます。

- $\sin^3 x$は奇関数であり、$\cos^3 x$ は偶関数です。$\sin(-x) = -\sin x$ より $\sin^3 (-x) = (\sin (-x))^3 = (-\sin x)^3 = -\sin^3 x$, $\cos(-x) = \cos x$ より $\cos^3(-x) = (\cos (-x))^3 = (\cos x)^3 = \cos^3 x$

よって、

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin^3 x + \cos^3 x) dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x dx + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx = 0 + 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \cos x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin^2 x) \cos x dx$

$t = \sin x$ とおくと、$dt = \cos x dx$

$x=0$ のとき、$t=0$、$x=\frac{\pi}{2}$ のとき、$t=1$

$\int_{0}^{1} (1-t^2) dt = [t - \frac{1}{3}t^3]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

したがって、

$2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x dx = 2 \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $30\sqrt{2}$

(2) $\frac{4}{3}$