与えられた積分を計算します。 積分は $\int x \sqrt{x-2} dx$ です。 また、$x-2 = t$ と変数変換が指示されています。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

積分は $\int x \sqrt{x-2} dx$ です。

また、$x-2 = t$ と変数変換が指示されています。

2. 解き方の手順

まず、$x-2 = t$ という変数変換を行います。

このとき、$x = t+2$ であり、$dx = dt$ となります。

積分は次のようになります。

$\int x \sqrt{x-2} dx = \int (t+2)\sqrt{t} dt = \int (t^{3/2} + 2t^{1/2}) dt$

この積分は簡単に計算できます。

$\int (t^{3/2} + 2t^{1/2}) dt = \int t^{3/2} dt + 2 \int t^{1/2} dt$

$\int t^{3/2} dt = \frac{t^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5} t^{5/2}$

$\int t^{1/2} dt = \frac{t^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} t^{3/2}$

したがって、

$\int (t^{3/2} + 2t^{1/2}) dt = \frac{2}{5} t^{5/2} + 2 \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + C = \frac{2}{5} t^{5/2} + \frac{4}{3} t^{3/2} + C$

ここで、$t = x-2$ を代入して元の変数に戻します。

$\frac{2}{5} (x-2)^{5/2} + \frac{4}{3} (x-2)^{3/2} + C$

$(x-2)^{3/2}$ でくくると

$(x-2)^{3/2} \left( \frac{2}{5} (x-2) + \frac{4}{3} \right) + C = (x-2)^{3/2} \left( \frac{2x}{5} - \frac{4}{5} + \frac{4}{3} \right) + C = (x-2)^{3/2} \left( \frac{2x}{5} + \frac{8}{15} \right) + C$

$= \frac{2}{15} (x-2)^{3/2} (3x+4) + C$

3. 最終的な答え

$\int x \sqrt{x-2} dx = \frac{2}{15} (x-2)^{3/2} (3x+4) + C$