以下の3つの定積分を求めます。 (1) $I = \int_1^2 \frac{1}{\sqrt{7x+2}} dx$ (2) $I = \int_1^e \frac{(\log x)^4}{x} dx$ (3) $I = \int_0^{\pi/6} \cos^3 x \sin x dx$

1. 問題の内容

以下の3つの定積分を求めます。

(1) $I = \int_1^2 \frac{1}{\sqrt{7x+2}} dx$

(2) $I = \int_1^e \frac{(\log x)^4}{x} dx$

(3) $I = \int_0^{\pi/6} \cos^3 x \sin x dx$

2. 解き方の手順

(1)

$t = 7x + 2$ と置換します。

$dt = 7dx$ より $dx = \frac{1}{7} dt$ です。

$x = 1$ のとき $t = 7(1) + 2 = 9$

$x = 2$ のとき $t = 7(2) + 2 = 16$

したがって、積分は次のようになります。

$I = \int_9^{16} \frac{1}{\sqrt{t}} \frac{1}{7} dt = \frac{1}{7} \int_9^{16} t^{-\frac{1}{2}} dt = \frac{1}{7} \left[ 2t^{\frac{1}{2}} \right]_9^{16} = \frac{2}{7} \left[ \sqrt{t} \right]_9^{16} = \frac{2}{7} (\sqrt{16} - \sqrt{9}) = \frac{2}{7} (4 - 3) = \frac{2}{7}$

(2)

$t = \log x$ と置換します。

$dt = \frac{1}{x} dx$

$x = 1$ のとき $t = \log 1 = 0$

$x = e$ のとき $t = \log e = 1$

したがって、積分は次のようになります。

$I = \int_0^1 t^4 dt = \left[ \frac{1}{5} t^5 \right]_0^1 = \frac{1}{5} (1^5 - 0^5) = \frac{1}{5}$

(3)

$t = \cos x$ と置換します。

$dt = -\sin x dx$ より $\sin x dx = -dt$ です。

$x = 0$ のとき $t = \cos 0 = 1$

$x = \frac{\pi}{6}$ のとき $t = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、積分は次のようになります。

$I = \int_1^{\frac{\sqrt{3}}{2}} t^3 (-dt) = - \int_1^{\frac{\sqrt{3}}{2}} t^3 dt = \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^1 t^3 dt = \left[ \frac{1}{4} t^4 \right]_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^1 = \frac{1}{4} \left( 1^4 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^4 \right) = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{9}{16} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{16-9}{16} \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{7}{16} = \frac{7}{64}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{7}$

(2) $\frac{1}{5}$

(3) $\frac{7}{64}$