定積分 $I = \int_{0}^{2} |x^2 - 1| dx$ を計算します。 ヒントとして、$|x^2 - 1|$ が $x$ の範囲によって $1-x^2$ または $x^2 - 1$ となることが与えられています。

## 問題4

1. 問題の内容

定積分 $I = \int_{0}^{2} |x^2 - 1| dx$ を計算します。

ヒントとして、$|x^2 - 1|$ が $x$ の範囲によって $1-x^2$ または $x^2 - 1$ となることが与えられています。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために、積分区間を分けます。

$0 \leq x \leq 1$ のとき、$|x^2 - 1| = 1 - x^2$ です。

$1 \leq x \leq 2$ のとき、$|x^2 - 1| = x^2 - 1$ です。

したがって、積分は次のように分割できます。

$I = \int_{0}^{1} (1 - x^2) dx + \int_{1}^{2} (x^2 - 1) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{0}^{1} (1 - x^2) dx = [x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1} = (1 - \frac{1}{3}) - (0 - 0) = \frac{2}{3}$

$\int_{1}^{2} (x^2 - 1) dx = [\frac{x^3}{3} - x]_{1}^{2} = (\frac{8}{3} - 2) - (\frac{1}{3} - 1) = \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

したがって、$I = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} = 2$

3. 最終的な答え

$I = 2$