与えられた積分 $\int \frac{\sqrt{x}}{x} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{\sqrt{x}}{x} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ と書き換える。すると、積分は $\int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} dx$ となる。

次に、$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x}$ を簡略化する。指数法則を使って、$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} = x^{\frac{1}{2}-1} = x^{-\frac{1}{2}}$ となる。

したがって、積分は $\int x^{-\frac{1}{2}} dx$ となる。

次に、冪の積分規則 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用いる。

この場合、$n = -\frac{1}{2}$ であるので、

$\int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2x^{\frac{1}{2}} + C$ となる。

最後に、$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ と書き換える。

3. 最終的な答え

$2\sqrt{x} + C$