以下の4つの関数の微分を求める問題です。 (2) $y = \frac{1}{\cos x}$ (4) $y = e^{-3x} \sin 2x$ (6) $y = \log |\tan x|$ (8) $y = \frac{\log (1-x^2)}{e^{2x}}$

わかりました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の4つの関数の微分を求める問題です。

(2) $y = \frac{1}{\cos x}$

(4) $y = e^{-3x} \sin 2x$

(6) $y = \log |\tan x|$

(8) $y = \frac{\log (1-x^2)}{e^{2x}}$

2. 解き方の手順

(2) $y = \frac{1}{\cos x}$ の微分

$y = (\cos x)^{-1}$ と書き換えます。

合成関数の微分公式を使うと

$\frac{dy}{dx} = -1(\cos x)^{-2}(-\sin x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} = \tan x \sec x$

(4) $y = e^{-3x} \sin 2x$ の微分

積の微分公式を使います。$\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$

$u = e^{-3x}$, $v = \sin 2x$ とすると、

$u' = -3e^{-3x}$, $v' = 2\cos 2x$

$\frac{dy}{dx} = -3e^{-3x}\sin 2x + e^{-3x}(2\cos 2x) = e^{-3x}(-3\sin 2x + 2\cos 2x)$

(6) $y = \log |\tan x|$ の微分

合成関数の微分公式を使います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{2\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x} = 2\csc 2x$

(8) $y = \frac{\log (1-x^2)}{e^{2x}}$ の微分

商の微分公式を使います。 $\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = \log (1-x^2)$, $v = e^{2x}$ とすると、

$u' = \frac{-2x}{1-x^2}$, $v' = 2e^{2x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{-2x}{1-x^2}e^{2x} - \log(1-x^2)2e^{2x}}{(e^{2x})^2} = \frac{e^{2x}(\frac{-2x}{1-x^2} - 2\log(1-x^2))}{e^{4x}} = \frac{\frac{-2x}{1-x^2} - 2\log(1-x^2)}{e^{2x}} = \frac{-2x - 2(1-x^2)\log(1-x^2)}{(1-x^2)e^{2x}}$

3. 最終的な答え

(2) $\frac{dy}{dx} = \tan x \sec x$

(4) $\frac{dy}{dx} = e^{-3x}(-3\sin 2x + 2\cos 2x)$

(6) $\frac{dy}{dx} = 2\csc 2x$

(8) $\frac{dy}{dx} = \frac{-2x - 2(1-x^2)\log(1-x^2)}{(1-x^2)e^{2x}}$