与えられた4つの不定積分を、部分分数分解を用いて計算する問題です。 (1) $\int \frac{1}{x^2 + x - 6} dx$ (2) $\int \frac{x-2}{x(x-1)} dx$ (3) $\int \frac{x+5}{x^2 - 1} dx$ (4) $\int \frac{1}{x^2(x+1)} dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの不定積分を、部分分数分解を用いて計算する問題です。

(1) $\int \frac{1}{x^2 + x - 6} dx$

(2) $\int \frac{x-2}{x(x-1)} dx$

(3) $\int \frac{x+5}{x^2 - 1} dx$

(4) $\int \frac{1}{x^2(x+1)} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{1}{x^2 + x - 6} dx$

まず、分母を因数分解します。

$x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2)$

次に、部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(x+3)(x-2)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-2}$

両辺に $(x+3)(x-2)$ をかけると、

$1 = A(x-2) + B(x+3)$

$x = 2$ のとき、$1 = 5B$ より $B = \frac{1}{5}$

$x = -3$ のとき、$1 = -5A$ より $A = -\frac{1}{5}$

したがって、

$\frac{1}{(x+3)(x-2)} = -\frac{1}{5(x+3)} + \frac{1}{5(x-2)}$

積分は、

$\int \frac{1}{x^2 + x - 6} dx = \int \left(-\frac{1}{5(x+3)} + \frac{1}{5(x-2)}\right) dx$

$= -\frac{1}{5} \int \frac{1}{x+3} dx + \frac{1}{5} \int \frac{1}{x-2} dx$

$= -\frac{1}{5} \ln|x+3| + \frac{1}{5} \ln|x-2| + C$

$= \frac{1}{5} \ln\left|\frac{x-2}{x+3}\right| + C$

(2) $\int \frac{x-2}{x(x-1)} dx$

部分分数分解を行います。

$\frac{x-2}{x(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1}$

両辺に $x(x-1)$ をかけると、

$x-2 = A(x-1) + Bx$

$x = 0$ のとき、$-2 = -A$ より $A = 2$

$x = 1$ のとき、$-1 = B$ より $B = -1$

したがって、

$\frac{x-2}{x(x-1)} = \frac{2}{x} - \frac{1}{x-1}$

積分は、

$\int \frac{x-2}{x(x-1)} dx = \int \left(\frac{2}{x} - \frac{1}{x-1}\right) dx$

$= 2 \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1}{x-1} dx$

$= 2 \ln|x| - \ln|x-1| + C$

$= \ln|x^2| - \ln|x-1| + C$

$= \ln\left|\frac{x^2}{x-1}\right| + C$

(3) $\int \frac{x+5}{x^2 - 1} dx$

まず、分母を因数分解します。

$x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$

次に、部分分数分解を行います。

$\frac{x+5}{(x+1)(x-1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1}$

両辺に $(x+1)(x-1)$ をかけると、

$x+5 = A(x-1) + B(x+1)$

$x = 1$ のとき、$6 = 2B$ より $B = 3$

$x = -1$ のとき、$4 = -2A$ より $A = -2$

したがって、

$\frac{x+5}{(x+1)(x-1)} = -\frac{2}{x+1} + \frac{3}{x-1}$

積分は、

$\int \frac{x+5}{x^2 - 1} dx = \int \left(-\frac{2}{x+1} + \frac{3}{x-1}\right) dx$

$= -2 \int \frac{1}{x+1} dx + 3 \int \frac{1}{x-1} dx$

$= -2 \ln|x+1| + 3 \ln|x-1| + C$

$= \ln\left|\frac{(x-1)^3}{(x+1)^2}\right| + C$

(4) $\int \frac{1}{x^2(x+1)} dx$

部分分数分解を行います。

$\frac{1}{x^2(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x+1}$

両辺に $x^2(x+1)$ をかけると、

$1 = Ax(x+1) + B(x+1) + Cx^2$

$1 = Ax^2 + Ax + Bx + B + Cx^2$

$1 = (A+C)x^2 + (A+B)x + B$

係数を比較すると、

$A+C = 0$

$A+B = 0$

$B = 1$

したがって、$A = -1$、$C = 1$

$\frac{1}{x^2(x+1)} = -\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x+1}$

積分は、

$\int \frac{1}{x^2(x+1)} dx = \int \left(-\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x+1}\right) dx$

$= -\int \frac{1}{x} dx + \int x^{-2} dx + \int \frac{1}{x+1} dx$

$= -\ln|x| - \frac{1}{x} + \ln|x+1| + C$

$= \ln\left|\frac{x+1}{x}\right| - \frac{1}{x} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{5} \ln\left|\frac{x-2}{x+3}\right| + C$

(2) $\ln\left|\frac{x^2}{x-1}\right| + C$

(3) $\ln\left|\frac{(x-1)^3}{(x+1)^2}\right| + C$

(4) $\ln\left|\frac{x+1}{x}\right| - \frac{1}{x} + C$