以下の4つの関数を微分する問題です。 (1) $y = (x^4 + 3x^2 - 2)^5$ (2) $s = \frac{1}{(t^2 - 4)^3}$ (3) $y = \sqrt[4]{x^2 + 3x + 2}$ (4) $s = \frac{1}{\sqrt[3]{(4 - t^2)^2}}$

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

以下の4つの関数を微分する問題です。

(1) $y = (x^4 + 3x^2 - 2)^5$

(2) $s = \frac{1}{(t^2 - 4)^3}$

(3) $y = \sqrt[4]{x^2 + 3x + 2}$

(4) $s = \frac{1}{\sqrt[3]{(4 - t^2)^2}}$

2. 解き方の手順

各関数ごとに微分を計算します。

(1) $y = (x^4 + 3x^2 - 2)^5$

合成関数の微分を使います。$u = x^4 + 3x^2 - 2$とおくと、$y = u^5$です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$です。

$\frac{dy}{du} = 5u^4 = 5(x^4 + 3x^2 - 2)^4$

$\frac{du}{dx} = 4x^3 + 6x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 5(x^4 + 3x^2 - 2)^4 (4x^3 + 6x) = 10x(2x^2 + 3)(x^4 + 3x^2 - 2)^4$

(2) $s = \frac{1}{(t^2 - 4)^3} = (t^2 - 4)^{-3}$

合成関数の微分を使います。$u = t^2 - 4$とおくと、$s = u^{-3}$です。

$\frac{ds}{dt} = \frac{ds}{du} \cdot \frac{du}{dt}$です。

$\frac{ds}{du} = -3u^{-4} = -3(t^2 - 4)^{-4}$

$\frac{du}{dt} = 2t$

したがって、

$\frac{ds}{dt} = -3(t^2 - 4)^{-4} \cdot 2t = \frac{-6t}{(t^2 - 4)^4}$

(3) $y = \sqrt[4]{x^2 + 3x + 2} = (x^2 + 3x + 2)^{\frac{1}{4}}$

合成関数の微分を使います。$u = x^2 + 3x + 2$とおくと、$y = u^{\frac{1}{4}}$です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$です。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{4}u^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4}(x^2 + 3x + 2)^{-\frac{3}{4}}$

$\frac{du}{dx} = 2x + 3$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4}(x^2 + 3x + 2)^{-\frac{3}{4}}(2x + 3) = \frac{2x+3}{4(x^2+3x+2)^{\frac{3}{4}}}$

(4) $s = \frac{1}{\sqrt[3]{(4 - t^2)^2}} = (4 - t^2)^{-\frac{2}{3}}$

合成関数の微分を使います。$u = 4 - t^2$とおくと、$s = u^{-\frac{2}{3}}$です。

$\frac{ds}{dt} = \frac{ds}{du} \cdot \frac{du}{dt}$です。

$\frac{ds}{du} = -\frac{2}{3}u^{-\frac{5}{3}} = -\frac{2}{3}(4 - t^2)^{-\frac{5}{3}}$

$\frac{du}{dt} = -2t$

したがって、

$\frac{ds}{dt} = -\frac{2}{3}(4 - t^2)^{-\frac{5}{3}} \cdot (-2t) = \frac{4t}{3(4 - t^2)^{\frac{5}{3}}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 10x(2x^2 + 3)(x^4 + 3x^2 - 2)^4$

(2) $\frac{ds}{dt} = \frac{-6t}{(t^2 - 4)^4}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x+3}{4(x^2+3x+2)^{\frac{3}{4}}}$

(4) $\frac{ds}{dt} = \frac{4t}{3(4 - t^2)^{\frac{5}{3}}}$