与えられた関数 $y = \frac{\log(1-x^2)}{e^{2x}}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

はい、承知しました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{\log(1-x^2)}{e^{2x}}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

商の微分公式と合成関数の微分公式を使います。

商の微分公式は以下の通りです。

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ここで $u = \log(1-x^2)$ 、 $v = e^{2x}$ とします。

まず、$u'$ を求めます。

$u = \log(1-x^2)$ なので、合成関数の微分公式より、

$u' = \frac{1}{1-x^2} \cdot (1-x^2)' = \frac{-2x}{1-x^2}$

次に、$v'$ を求めます。

$v = e^{2x}$ なので、合成関数の微分公式より、

$v' = e^{2x} \cdot (2x)' = 2e^{2x}$

したがって、商の微分公式を用いると、

$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{\frac{-2x}{1-x^2} \cdot e^{2x} - \log(1-x^2) \cdot 2e^{2x}}{(e^{2x})^2}$

$y' = \frac{e^{2x} (\frac{-2x}{1-x^2} - 2\log(1-x^2))}{e^{4x}}$

$y' = \frac{\frac{-2x}{1-x^2} - 2\log(1-x^2)}{e^{2x}}$

$y' = \frac{-2x - 2(1-x^2)\log(1-x^2)}{(1-x^2)e^{2x}}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{-2x - 2(1-x^2)\log(1-x^2)}{(1-x^2)e^{2x}}$

または

$y' = \frac{-2x}{e^{2x}(1-x^2)} - \frac{2\log(1-x^2)}{e^{2x}}$