与えられた4つの不定積分を計算する問題です。 (1) $\int (\frac{1}{2x+3} + \frac{5}{3x-4}) dx$ (2) $\int (\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+2}) dx$ (3) $\int \frac{2x+2}{x^2+2x+3} dx$ (4) $\int \frac{3x^3+5x}{x^2+1} dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの不定積分を計算する問題です。

(1) $\int (\frac{1}{2x+3} + \frac{5}{3x-4}) dx$

(2) $\int (\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+2}) dx$

(3) $\int \frac{2x+2}{x^2+2x+3} dx$

(4) $\int \frac{3x^3+5x}{x^2+1} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int (\frac{1}{2x+3} + \frac{5}{3x-4}) dx$

それぞれの項を積分します。

$\int \frac{1}{2x+3} dx = \frac{1}{2} \ln|2x+3| + C_1$

$\int \frac{5}{3x-4} dx = \frac{5}{3} \ln|3x-4| + C_2$

したがって、

$\int (\frac{1}{2x+3} + \frac{5}{3x-4}) dx = \frac{1}{2} \ln|2x+3| + \frac{5}{3} \ln|3x-4| + C$

(2) $\int (\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+2}) dx$

それぞれの項を積分します。

$\int \frac{1}{x-1} dx = \ln|x-1| + C_1$

$\int \frac{1}{x+2} dx = \ln|x+2| + C_2$

したがって、

$\int (\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+2}) dx = \ln|x-1| - \ln|x+2| + C = \ln|\frac{x-1}{x+2}| + C$

(3) $\int \frac{2x+2}{x^2+2x+3} dx$

分子が分母の微分形になっていることに注目します。

$x^2+2x+3$ を微分すると $2x+2$ となります。

したがって、

$\int \frac{2x+2}{x^2+2x+3} dx = \ln|x^2+2x+3| + C$

(4) $\int \frac{3x^3+5x}{x^2+1} dx$

分子を分母で割ります。

$\frac{3x^3+5x}{x^2+1} = 3x + \frac{2x}{x^2+1}$

したがって、

$\int \frac{3x^3+5x}{x^2+1} dx = \int (3x + \frac{2x}{x^2+1}) dx = \int 3x dx + \int \frac{2x}{x^2+1} dx$

$\int 3x dx = \frac{3}{2}x^2 + C_1$

$\int \frac{2x}{x^2+1} dx = \ln|x^2+1| + C_2$

したがって、

$\int \frac{3x^3+5x}{x^2+1} dx = \frac{3}{2}x^2 + \ln|x^2+1| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2} \ln|2x+3| + \frac{5}{3} \ln|3x-4| + C$

(2) $\ln|\frac{x-1}{x+2}| + C$

(3) $\ln|x^2+2x+3| + C$

(4) $\frac{3}{2}x^2 + \ln|x^2+1| + C$