定積分 $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2 + \cos x} dx$ を計算する問題です。$t = \tan \frac{x}{2}$ と置換し、$I = \int_0^a f(t) dt$ の形に変形した後、積分を計算し、最終的な答えと $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2 + \cos x} dx$ を計算する問題です。$t = \tan \frac{x}{2}$ と置換し、$I = \int_0^a f(t) dt$ の形に変形した後、積分を計算し、最終的な答えと $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$t = \tan \frac{x}{2}$ より、$\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$ となります。また、$dx = \frac{2}{1 + t^2} dt$ です。

次に、積分範囲を変換します。

$x = 0$ のとき、$t = \tan \frac{0}{2} = 0$

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、$t = \tan \frac{\pi}{4} = 1$

よって、$a = 1$ となります。

次に、積分を書き換えます。

$I = \int_0^1 \frac{1}{2 + \frac{1 - t^2}{1 + t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} dt = \int_0^1 \frac{1}{\frac{2(1 + t^2) + (1 - t^2)}{1 + t^2}} \cdot \frac{2}{1 + t^2} dt$

$I = \int_0^1 \frac{1 + t^2}{2 + 2t^2 + 1 - t^2} \cdot \frac{2}{1 + t^2} dt = \int_0^1 \frac{1 + t^2}{3 + t^2} \cdot \frac{2}{1 + t^2} dt$

$I = \int_0^1 \frac{2}{3 + t^2} dt$

$I = 2 \int_0^1 \frac{1}{3 + t^2} dt$

$I = 2 \int_0^1 \frac{1}{(\sqrt{3})^2 + t^2} dt$

$I = 2 \left[ \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \frac{t}{\sqrt{3}} \right]_0^1$

$I = \frac{2}{\sqrt{3}} \left[ \arctan \frac{1}{\sqrt{3}} - \arctan 0 \right]$

$I = \frac{2}{\sqrt{3}} \left[ \frac{\pi}{6} - 0 \right] = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3 \sqrt{3}} = \frac{\pi \sqrt{3}}{9} = \frac{\pi}{3 \sqrt{3}}$

3. 最終的な答え

$I = \frac{\pi}{3 \sqrt{3}}$

$a = 1$

選択肢から答えを選ぶと

$a = 1$

$I = \frac{\pi}{3 \sqrt{3}}$

に対応するものは、それぞれ

$a$ には選択肢がないので、上記の通り。

$I$ には選択肢6があります。