与えられた2つの不定積分を計算する問題です。 (1) $\int \frac{2}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x}} dx$ (2) $\int \frac{1}{(x+1)\sqrt{x+2}} dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの不定積分を計算する問題です。

(1) $\int \frac{2}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x}} dx$

(2) $\int \frac{1}{(x+1)\sqrt{x+2}} dx$

2. 解き方の手順

(1) まず、被積分関数を簡略化するために、分母を有理化します。

$\int \frac{2}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x}} dx = \int \frac{2(\sqrt{x+2} - \sqrt{x})}{(\sqrt{x+2} + \sqrt{x})(\sqrt{x+2} - \sqrt{x})} dx$

$= \int \frac{2(\sqrt{x+2} - \sqrt{x})}{(x+2) - x} dx = \int \frac{2(\sqrt{x+2} - \sqrt{x})}{2} dx$

$= \int (\sqrt{x+2} - \sqrt{x}) dx = \int ((x+2)^{1/2} - x^{1/2}) dx$

$= \frac{2}{3}(x+2)^{3/2} - \frac{2}{3}x^{3/2} + C$

(2) $u = \sqrt{x+2}$ と置換します。すると、$u^2 = x+2$ となり、$x = u^2 - 2$ です。

$dx = 2u du$ となります。

積分は以下のようになります。

$\int \frac{1}{(x+1)\sqrt{x+2}} dx = \int \frac{1}{(u^2 - 2 + 1)u} (2u du) = \int \frac{2}{u^2 - 1} du$

$= \int \frac{2}{(u-1)(u+1)} du = \int (\frac{1}{u-1} - \frac{1}{u+1})du$

$= \ln|u-1| - \ln|u+1| + C = \ln|\frac{u-1}{u+1}| + C = \ln|\frac{\sqrt{x+2}-1}{\sqrt{x+2}+1}| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3}(x+2)^{3/2} - \frac{2}{3}x^{3/2} + C$

(2) $\ln|\frac{\sqrt{x+2}-1}{\sqrt{x+2}+1}| + C$