$f(x) = x^3 + 3ax^2 + 3bx + c$ について、以下の問題を解く。 (1) $a = -2$, $b = 3$, $c = -1$ のときの $f(x)$ の極大値と極小値を求める。 (2) $f(x)$ が $x = 2$ で極値をとり、点 $(1, f(1))$ における接線の傾きが $-3$ であるときの $a$, $b$ の値を求める。 (3) $a = 1$, $b = -3$ のとき、$f(x) = 0$ が異なる3つの実数解をもつような定数 $c$ の値の範囲を求める。 (4) $c = 9a^2$ のとき、$f(x)$ が $x = 1$ で極値 $10$ をもつような $a$, $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

$f(x) = x^3 + 3ax^2 + 3bx + c$ について、以下の問題を解く。

(1) $a = -2$, $b = 3$, $c = -1$ のときの $f(x)$ の極大値と極小値を求める。

(2) $f(x)$ が $x = 2$ で極値をとり、点 $(1, f(1))$ における接線の傾きが $-3$ であるときの $a$, $b$ の値を求める。

(3) $a = 1$, $b = -3$ のとき、$f(x) = 0$ が異なる3つの実数解をもつような定数 $c$ の値の範囲を求める。

(4) $c = 9a^2$ のとき、$f(x)$ が $x = 1$ で極値 $10$ をもつような $a$, $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a = -2$, $b = 3$, $c = -1$ のとき

$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = 1, 3$

$f''(x) = 6x - 12$

$f''(1) = 6 - 12 = -6 < 0$ より $x = 1$ で極大値をとる。

$f''(3) = 18 - 12 = 6 > 0$ より $x = 3$ で極小値をとる。

$f(1) = 1 - 6 + 9 - 1 = 3$

$f(3) = 27 - 54 + 27 - 1 = -1$

したがって、$x = 1$ で極大値 $3$、$x = 3$ で極小値 $-1$ をとる。

(2) $f(x)$ が $x = 2$ で極値をとり、点 $(1, f(1))$ における接線の傾きが $-3$ であるとき

$f'(x) = 3x^2 + 6ax + 3b$

$f'(2) = 12 + 12a + 3b = 0$

$4 + 4a + b = 0$ より $b = -4a - 4$

$f'(1) = 3 + 6a + 3b = -3$

$1 + 2a + b = -1$ より $b = -2a - 2$

$-4a - 4 = -2a - 2$

$-2a = 2$ より $a = -1$

$b = -2(-1) - 2 = 0$

したがって、$a = -1$, $b = 0$

(3) $a = 1$, $b = -3$ のとき、$f(x) = 0$ が異なる3つの実数解をもつような定数 $c$ の値の範囲を求める。

$f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + c$

$f'(x) = 3x^2 + 6x - 9 = 3(x^2 + 2x - 3) = 3(x + 3)(x - 1)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = -3, 1$

$f''(x) = 6x + 6$

$f''(-3) = -18 + 6 = -12 < 0$ より $x = -3$ で極大値をとる。

$f''(1) = 6 + 6 = 12 > 0$ より $x = 1$ で極小値をとる。

$f(-3) = -27 + 27 + 27 + c = 27 + c$

$f(1) = 1 + 3 - 9 + c = -5 + c$

$f(x) = 0$ が異なる3つの実数解をもつためには、$f(-3) > 0$ かつ $f(1) < 0$ であればよい。

$27 + c > 0$ より $c > -27$

$-5 + c < 0$ より $c < 5$

したがって、$-27 < c < 5$

(4) $c = 9a^2$ のとき、$f(x)$ が $x = 1$ で極値 $10$ をもつような $a$, $b$ の値を求める。

$f(x) = x^3 + 3ax^2 + 3bx + 9a^2$

$f'(x) = 3x^2 + 6ax + 3b$

$f(1) = 1 + 3a + 3b + 9a^2 = 10$

$f'(1) = 3 + 6a + 3b = 0$

$1 + 2a + b = 0$ より $b = -2a - 1$

$1 + 3a + 3(-2a - 1) + 9a^2 = 10$

$1 + 3a - 6a - 3 + 9a^2 = 10$

$9a^2 - 3a - 2 - 10 = 0$

$9a^2 - 3a - 12 = 0$

$3a^2 - a - 4 = 0$

$(3a - 4)(a + 1) = 0$

$a = \frac{4}{3}, -1$

$a = \frac{4}{3}$ のとき $b = -2(\frac{4}{3}) - 1 = -\frac{8}{3} - 1 = -\frac{11}{3}$

$a = -1$ のとき $b = -2(-1) - 1 = 2 - 1 = 1$

3. 最終的な答え

(1) 極大値: 3, 極小値: -1

(2) $a = -1$, $b = 0$

(3) $-27 < c < 5$

(4) $(a, b) = (\frac{4}{3}, -\frac{11}{3}), (-1, 1)$