与えられた関数を微分する問題です。関数は以下の4つです。 (1) $y = \sin^4(3x)$ (2) $y = \tan^3(2x)$ (3) $y = e^{x^3}\sin(2x)$ (4) $y = \log(x^2+1)$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。関数は以下の4つです。

(1) $y = \sin^4(3x)$

(2) $y = \tan^3(2x)$

(3) $y = e^{x^3}\sin(2x)$

(4) $y = \log(x^2+1)$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin^4(3x)$ の微分

合成関数の微分を行います。まず $\sin(3x)$ を $u$ とおくと、$y = u^4$ となります。

$\frac{dy}{du} = 4u^3$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\sin(3x) = 3\cos(3x)$

よって、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx} = 4\sin^3(3x) \cdot 3\cos(3x) = 12\sin^3(3x)\cos(3x)$

(2) $y = \tan^3(2x)$ の微分

(1)と同様に合成関数の微分を行います。$\tan(2x)$ を $u$ とおくと、$y = u^3$ となります。

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\tan(2x) = 2\sec^2(2x)$

よって、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx} = 3\tan^2(2x) \cdot 2\sec^2(2x) = 6\tan^2(2x)\sec^2(2x)$

(3) $y = e^{x^3}\sin(2x)$ の微分

積の微分法と合成関数の微分法を使います。

$\frac{d}{dx}e^{x^3} = 3x^2e^{x^3}$

$\frac{d}{dx}\sin(2x) = 2\cos(2x)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(e^{x^3})\sin(2x) + e^{x^3}\frac{d}{dx}(\sin(2x)) = 3x^2e^{x^3}\sin(2x) + 2e^{x^3}\cos(2x) = e^{x^3}(3x^2\sin(2x) + 2\cos(2x))$

(4) $y = \log(x^2+1)$ の微分

合成関数の微分を行います。$x^2+1$ を $u$ とおくと、$y = \log u$ となります。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

よって、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx} = \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2+1}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 12\sin^3(3x)\cos(3x)$

(2) $\frac{dy}{dx} = 6\tan^2(2x)\sec^2(2x)$

(3) $\frac{dy}{dx} = e^{x^3}(3x^2\sin(2x) + 2\cos(2x))$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^2+1}$