はい、承知いたしました。画像にある関数を微分する問題ですね。一つずつ解いていきましょう。

はい、承知いたしました。画像にある関数を微分する問題ですね。一つずつ解いていきましょう。

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1. 問題の内容**

与えられた8つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $y = \sin^3(4x)$

(2) $y = \frac{1}{\cos x}$

(3) $y = \sqrt{\tan x}$

(4) $y = e^{-3x} \sin(2x)$

(5) $y = \log|1-x^2|$

(6) $y = \log|\tan x|$

(7) $y = \frac{1}{\log(x^2+1)}$

(8) $y = \frac{\log(1-x^2)}{e^{2x}}$

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2. 解き方の手順**

各関数ごとに微分を計算します。合成関数の微分や積の微分、商の微分などを適切に適用します。対数関数は自然対数（底が $e$）であると仮定します。

(1) $y = \sin^3(4x)$

合成関数の微分を使います。

$y' = 3\sin^2(4x) \cdot (\sin(4x))'$

$(\sin(4x))' = \cos(4x) \cdot (4x)' = 4\cos(4x)$

よって、

$y' = 3\sin^2(4x) \cdot 4\cos(4x) = 12\sin^2(4x)\cos(4x)$

(2) $y = \frac{1}{\cos x}$

これは $y = (\cos x)^{-1}$ と書き換えられます。

$y' = -1(\cos x)^{-2} \cdot (-\sin x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x} = \tan x \sec x$

または、商の微分法を用いて

$y' = \frac{0 \cdot \cos x - 1 \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$

(3) $y = \sqrt{\tan x}$

$y = (\tan x)^{1/2}$ と書き換えられます。

$y' = \frac{1}{2}(\tan x)^{-1/2} \cdot (\tan x)' = \frac{1}{2\sqrt{\tan x}} \cdot \sec^2 x = \frac{\sec^2 x}{2\sqrt{\tan x}}$

(4) $y = e^{-3x} \sin(2x)$

積の微分を使います。

$y' = (e^{-3x})' \sin(2x) + e^{-3x} (\sin(2x))'$

$(e^{-3x})' = -3e^{-3x}$

$(\sin(2x))' = 2\cos(2x)$

よって、

$y' = -3e^{-3x} \sin(2x) + 2e^{-3x} \cos(2x) = e^{-3x}(2\cos(2x) - 3\sin(2x))$

(5) $y = \log|1-x^2|$

$y' = \frac{1}{1-x^2} \cdot (1-x^2)' = \frac{-2x}{1-x^2} = \frac{2x}{x^2-1}$

(6) $y = \log|\tan x|$

$y' = \frac{1}{\tan x} \cdot (\tan x)' = \frac{\sec^2 x}{\tan x} = \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{2\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x} = 2\csc 2x$

(7) $y = \frac{1}{\log(x^2+1)}$

$y = (\log(x^2+1))^{-1}$ と書き換えられます。

$y' = -1 (\log(x^2+1))^{-2} \cdot (\log(x^2+1))' = -\frac{1}{(\log(x^2+1))^2} \cdot \frac{2x}{x^2+1} = -\frac{2x}{(x^2+1)(\log(x^2+1))^2}$

(8) $y = \frac{\log(1-x^2)}{e^{2x}}$

商の微分を使います。

$y' = \frac{(\log(1-x^2))' e^{2x} - \log(1-x^2) (e^{2x})'}{(e^{2x})^2}$

$(\log(1-x^2))' = \frac{1}{1-x^2} (-2x) = \frac{-2x}{1-x^2}$

$(e^{2x})' = 2e^{2x}$

よって、

$y' = \frac{\frac{-2x}{1-x^2}e^{2x} - 2e^{2x} \log(1-x^2)}{e^{4x}} = \frac{e^{2x}(\frac{-2x}{1-x^2} - 2\log(1-x^2))}{e^{4x}} = \frac{\frac{-2x}{1-x^2} - 2\log(1-x^2)}{e^{2x}} = \frac{-2x - 2(1-x^2)\log(1-x^2)}{(1-x^2)e^{2x}}$

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3. 最終的な答え**

(1) $y' = 12\sin^2(4x)\cos(4x)$

(2) $y' = \tan x \sec x$

(3) $y' = \frac{\sec^2 x}{2\sqrt{\tan x}}$

(4) $y' = e^{-3x}(2\cos(2x) - 3\sin(2x))$

(5) $y' = \frac{2x}{x^2-1}$

(6) $y' = 2\csc 2x$

(7) $y' = -\frac{2x}{(x^2+1)(\log(x^2+1))^2}$

(8) $y' = \frac{-2x - 2(1-x^2)\log(1-x^2)}{(1-x^2)e^{2x}}$