3次方程式 $x^3 - 6x^2 + 9x = k$ の実数解の個数が、$k$ の値によってどのように変化するかを調べる問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 6x^2 + 9x = k$ の実数解の個数が、$k$ の値によってどのように変化するかを調べる問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ を考えます。

$y = f(x)$ のグラフと $y = k$ のグラフの交点の個数が、方程式 $f(x) = k$ の実数解の個数に対応します。

したがって、$f(x)$ のグラフを描くために、$f(x)$ の増減を調べます。

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x=1$ または $x=3$ のときです。

$f(x)$ の増減表は以下のようになります。

| x | ... | 1 | ... | 3 | ... |

|------|-----|----|-----|----|-----|

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↑ | | ↓ | | ↑ |

$f(1) = 1 - 6 + 9 = 4$

$f(3) = 27 - 54 + 27 = 0$

したがって、$x=1$ で極大値4をとり、$x=3$ で極小値0をとります。

$y = f(x)$ のグラフと $y = k$ のグラフの交点の個数を考えます。

* $k < 0$ のとき、交点は1個。実数解は1個。

* $k = 0$ のとき、交点は2個。実数解は2個。

* $0 < k < 4$ のとき、交点は3個。実数解は3個。

* $k = 4$ のとき、交点は2個。実数解は2個。

* $k > 4$ のとき、交点は1個。実数解は1個。

3. 最終的な答え

$k < 0$ または $k > 4$ のとき、実数解は1個。

$k = 0$ または $k = 4$ のとき、実数解は2個。

$0 < k < 4$ のとき、実数解は3個。