不定積分 $I = \int \frac{1}{x \sqrt{\log(x^2)}} dx$ を計算し、$I = \Box \int \{\log(x^2)\}^{-\frac{1}{2}} \cdot \{\log(x^2)\}' dx = (2 \log|x|)^p + C$ となる。このとき、$p$ の値を求める。

はい、承知いたしました。問題10.2と10.3について解答します。

**問題10.2**

1. 問題の内容

不定積分 $I = \int \frac{1}{x \sqrt{\log(x^2)}} dx$ を計算し、$I = \Box \int \{\log(x^2)\}^{-\frac{1}{2}} \cdot \{\log(x^2)\}' dx = (2 \log|x|)^p + C$ となる。このとき、$p$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$I = \int \frac{1}{x \sqrt{\log(x^2)}} dx$ を計算する。

$\log(x^2) = 2 \log |x|$ なので、

$I = \int \frac{1}{x \sqrt{2 \log |x|}} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{1}{x \sqrt{\log |x|}} dx$

ここで、$u = \log |x|$ と置換すると、$du = \frac{1}{x} dx$ より、

$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{1}{\sqrt{u}} du = \frac{1}{\sqrt{2}} \int u^{-\frac{1}{2}} du = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2 \sqrt{u} + C = \sqrt{2} \sqrt{\log |x|} + C$

次に、$I = \Box \int \{\log(x^2)\}^{-\frac{1}{2}} \cdot \{\log(x^2)\}' dx = \Box \int (2\log |x|)^{-\frac{1}{2}} \cdot (2 \log |x|)' dx$

ここで、$v = 2 \log |x|$ と置換すると、$v' = (2 \log |x|)' = \frac{2}{x} dx$

そのため、$I = \Box \int v^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{x} dx$

よって、$\{\log(x^2)\}' = \frac{2}{x}$であるから、

$\int \{\log(x^2)\}^{-\frac{1}{2}} \cdot \{\log(x^2)\}' dx = \int (2 \log |x|)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{x} dx$

$w = 2 \log |x|$ と置換すると、$\frac{dw}{dx} = \frac{2}{x}$ より、

$\int w^{-\frac{1}{2}} dw = \frac{w^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2 \sqrt{w} + C = 2 \sqrt{2 \log |x|} + C = 2 \sqrt{2} \sqrt{\log |x|} + C$

これより、$I = \frac{1}{2\sqrt{2}} \int (2\log(x))^{-1/2} (2 \log(x))' dx$ と書ける。

したがって、$I = \sqrt{2} \sqrt{\log |x|} + C$ より、$I = (2 \log |x|)^p + C$ と比較して、

$I = (2 \log |x|)^{\frac{1}{2}}$ だから、$p = \frac{1}{2}$となる。しかし、選択肢にないため、計算ミスがあった可能性があります。

$I = \frac{1}{2\sqrt{2}} \int \{\log(x^2)\}^{-1/2} \{\log(x^2)\}' dx = \sqrt{2\log |x|} = (\log(x^2))^{1/2}$

したがって、$1$番目の箱には$\frac{1}{2 \sqrt{2}}$が入り、 $p=1/2$となる

3. 最終的な答え

$I = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \int \{\log(x^2)\}^{-\frac{1}{2}} \cdot \{\log(x^2)\}' dx$、$p = \frac{1}{2}$ （選択肢にない）。

**問題10.3**

1. 問題の内容

定積分 $I = \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}} dx$ を計算する。$x = \sin \theta$ と置くと、$I = \int_{0}^{a} \Box d\theta$ となる。$a$ の値を求め、さらに $I$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$x = \sin \theta$ と置換すると、$dx = \cos \theta d\theta$ となる。

$x = 0$ のとき、$\sin \theta = 0$ より $\theta = 0$

$x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ のとき、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より $\theta = \frac{\pi}{3}$

したがって、$a = \frac{\pi}{3}$ となる。

また、$(1 - x^2)^{\frac{3}{2}} = (1 - \sin^2 \theta)^{\frac{3}{2}} = (\cos^2 \theta)^{\frac{3}{2}} = \cos^3 \theta$ であるから、

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\cos^3 \theta} \cos \theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sec^2 \theta d\theta$

$\int \sec^2 \theta d\theta = \tan \theta + C$ であるから、

$I = [\tan \theta]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \tan \frac{\pi}{3} - \tan 0 = \sqrt{3} - 0 = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{\pi}{3}$（選択肢⑦）、$I = \sqrt{3}$（選択肢⑩）