与えられた数列の和 $S$ を求めます。数列 $S$ は以下のように定義されます。 $S = \frac{1}{3\cdot5} + \frac{1}{5\cdot7} + \frac{1}{7\cdot9} + \dots + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求めます。数列 $S$ は以下のように定義されます。

$S = \frac{1}{3\cdot5} + \frac{1}{5\cdot7} + \frac{1}{7\cdot9} + \dots + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$

2. 解き方の手順

この数列は部分分数分解を用いて解くことができます。

一般項 $\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$ を部分分数に分解します。

$\frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{A}{2k+1} + \frac{B}{2k+3}$

両辺に $(2k+1)(2k+3)$ を掛けると

$1 = A(2k+3) + B(2k+1)$

$k = -\frac{1}{2}$ を代入すると $1 = A(2)$ となり $A = \frac{1}{2}$

$k = -\frac{3}{2}$ を代入すると $1 = B(-2)$ となり $B = -\frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3} \right)$

これを用いて数列の和を計算します。

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{9} \right) + \dots + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2n+3} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{2n+3 - 3}{3(2n+3)} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{2n}{3(2n+3)} \right)$

$= \frac{n}{3(2n+3)}$

$= \frac{n}{6n+9}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{n}{6n+9}$