問題は、以下の3つの定積分を計算することです。 (1) $\int_9^1 (\frac{27}{x^2} + 6\sqrt{x}) \, dx$ (2) $\int_1^0 (e^x - 12x^3) \, dx$ (3) $\int_0^{\frac{\pi}{3}} (\sin x + \cos x) \, dx$

はい、承知いたしました。定積分の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題は、以下の3つの定積分を計算することです。

(1) $\int_9^1 (\frac{27}{x^2} + 6\sqrt{x}) \, dx$

(2) $\int_1^0 (e^x - 12x^3) \, dx$

(3) $\int_0^{\frac{\pi}{3}} (\sin x + \cos x) \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_9^1 (\frac{27}{x^2} + 6\sqrt{x}) \, dx$

まず、積分の中身を整理します。

$\frac{27}{x^2} = 27x^{-2}$

$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$

したがって、積分は

$\int_9^1 (27x^{-2} + 6x^{\frac{1}{2}}) \, dx$

となります。

積分を実行します。

$\int (27x^{-2} + 6x^{\frac{1}{2}}) \, dx = 27 \int x^{-2} \, dx + 6 \int x^{\frac{1}{2}} \, dx$

$= 27 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + 6 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = -27x^{-1} + 4x^{\frac{3}{2}} + C$

$= -\frac{27}{x} + 4x\sqrt{x} + C$

定積分を計算します。

$[-\frac{27}{x} + 4x\sqrt{x}]_9^1 = (-\frac{27}{1} + 4 \cdot 1 \cdot \sqrt{1}) - (-\frac{27}{9} + 4 \cdot 9 \cdot \sqrt{9})$

$= (-27 + 4) - (-3 + 4 \cdot 9 \cdot 3) = -23 - (-3 + 108) = -23 - 105 = -128$

(2) $\int_1^0 (e^x - 12x^3) \, dx$

積分を実行します。

$\int (e^x - 12x^3) \, dx = \int e^x \, dx - 12 \int x^3 \, dx = e^x - 12 \cdot \frac{x^4}{4} + C = e^x - 3x^4 + C$

定積分を計算します。

$[e^x - 3x^4]_1^0 = (e^0 - 3 \cdot 0^4) - (e^1 - 3 \cdot 1^4) = (1 - 0) - (e - 3) = 1 - e + 3 = 4 - e$

(3) $\int_0^{\frac{\pi}{3}} (\sin x + \cos x) \, dx$

積分を実行します。

$\int (\sin x + \cos x) \, dx = \int \sin x \, dx + \int \cos x \, dx = -\cos x + \sin x + C$

定積分を計算します。

$[-\cos x + \sin x]_0^{\frac{\pi}{3}} = (-\cos \frac{\pi}{3} + \sin \frac{\pi}{3}) - (-\cos 0 + \sin 0) = (-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) - (-1 + 0) = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) -128

(2) 4 - e

(3) $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$