関数 $y = \log x$ を、$x = 1$ の周りで5次の項までテーラー展開する。剰余項は考えない。

## 問題2： $y = \log x$ を $x=1$ で5次の項までテーラー展開する

1. **問題の内容**

関数 $y = \log x$ を、$x = 1$ の周りで5次の項までテーラー展開する。剰余項は考えない。

2. **解き方の手順**

関数 $f(x)$ の $x=a$ におけるテーラー展開は次の式で与えられます。

$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$

今回の問題では、$f(x) = \log x$、$a = 1$ であるので、まず $f(x)$ の導関数をいくつか計算します。

$f(x) = \log x$

$f'(x) = \frac{1}{x}$

$f''(x) = -\frac{1}{x^2}$

$f'''(x) = \frac{2}{x^3}$

$f^{(4)}(x) = -\frac{6}{x^4}$

$f^{(5)}(x) = \frac{24}{x^5}$

次に、$x = 1$ におけるこれらの導関数の値を計算します。

$f(1) = \log 1 = 0$

$f'(1) = \frac{1}{1} = 1$

$f''(1) = -\frac{1}{1^2} = -1$

$f'''(1) = \frac{2}{1^3} = 2$

$f^{(4)}(1) = -\frac{6}{1^4} = -6$

$f^{(5)}(1) = \frac{24}{1^5} = 24$

これらの値をテーラー展開の公式に代入します。5次の項まで求めるので、

$\log x = 0 + 1(x-1) + \frac{-1}{2!}(x-1)^2 + \frac{2}{3!}(x-1)^3 + \frac{-6}{4!}(x-1)^4 + \frac{24}{5!}(x-1)^5 + \cdots$

$\log x = (x-1) - \frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{3}(x-1)^3 - \frac{1}{4}(x-1)^4 + \frac{1}{5}(x-1)^5 + \cdots$

3. **最終的な答え**

$\log x = (x-1) - \frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{3}(x-1)^3 - \frac{1}{4}(x-1)^4 + \frac{1}{5}(x-1)^5$