与えられた関数 $f(x)$ について、導関数の定義に従って導関数 $f'(x)$ を求める問題です。 (1) $f(x) = 3x$ (2) $f(x) = -x^2$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ について、導関数の定義に従って導関数 $f'(x)$ を求める問題です。

(1) $f(x) = 3x$

(2) $f(x) = -x^2$

2. 解き方の手順

導関数の定義は次の通りです。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

(1) $f(x) = 3x$ の場合:

$f(x+h) = 3(x+h) = 3x + 3h$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{3x + 3h - 3x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3h}{h} = \lim_{h \to 0} 3 = 3$

(2) $f(x) = -x^2$ の場合:

$f(x+h) = -(x+h)^2 = -(x^2 + 2xh + h^2) = -x^2 - 2xh - h^2$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-x^2 - 2xh - h^2 - (-x^2)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-2xh - h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (-2x - h) = -2x$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = 3x$ のとき、$f'(x) = 3$

(2) $f(x) = -x^2$ のとき、$f'(x) = -2x$