無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3 \cdot 2^n + 2(-3)^n}{5^n}$ の和を求めよ。

1. 問題の内容

無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3 \cdot 2^n + 2(-3)^n}{5^n}$ の和を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた無限級数を二つの級数に分解します。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3 \cdot 2^n + 2(-3)^n}{5^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3 \cdot 2^n}{5^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-3)^n}{5^n}$

$= 3 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{5}\right)^n + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{-3}{5}\right)^n$

それぞれの級数は、初項 $a$、公比 $r$ の無限等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \frac{a}{1-r}$ に変形できることを利用します。

ただし、 $|r|<1$ である必要があります。

最初の級数について：

$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{5}\right)^n = \frac{2}{5} + \left(\frac{2}{5}\right)^2 + \left(\frac{2}{5}\right)^3 + \cdots$

これは初項 $a = \frac{2}{5}$、公比 $r = \frac{2}{5}$ の無限等比級数です。 $|r| = \frac{2}{5} < 1$ なので、収束します。

和は $\frac{a}{1-r} = \frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{2}{5}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{2}{3}$ となります。

したがって、$3 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{5}\right)^n = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2$

二番目の級数について：

$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{-3}{5}\right)^n = \frac{-3}{5} + \left(\frac{-3}{5}\right)^2 + \left(\frac{-3}{5}\right)^3 + \cdots$

これは初項 $a = \frac{-3}{5}$、公比 $r = \frac{-3}{5}$ の無限等比級数です。 $|r| = \frac{3}{5} < 1$ なので、収束します。

和は $\frac{a}{1-r} = \frac{\frac{-3}{5}}{1 - \frac{-3}{5}} = \frac{\frac{-3}{5}}{\frac{8}{5}} = \frac{-3}{8}$ となります。

したがって、$2 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{-3}{5}\right)^n = 2 \cdot \frac{-3}{8} = -\frac{3}{4}$

与えられた級数の和は

$2 - \frac{3}{4} = \frac{8}{4} - \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{4}$