半径 $r$ の球の体積を $V$、表面積を $S$ とするとき、$V = \frac{4}{3}\pi r^3$、$S = 4\pi r^2$ である。$V$ と $S$ を $r$ の関数とみて、それぞれ $r$ で微分せよ。

1. 問題の内容

半径 $r$ の球の体積を $V$、表面積を $S$ とするとき、$V = \frac{4}{3}\pi r^3$、$S = 4\pi r^2$ である。$V$ と $S$ を $r$ の関数とみて、それぞれ $r$ で微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、体積 $V$ を $r$ で微分します。

$V = \frac{4}{3}\pi r^3$ なので、

$\frac{dV}{dr} = \frac{4}{3}\pi \cdot 3r^2 = 4\pi r^2$

次に、表面積 $S$ を $r$ で微分します。

$S = 4\pi r^2$ なので、

$\frac{dS}{dr} = 4\pi \cdot 2r = 8\pi r$

3. 最終的な答え

$\frac{dV}{dr} = 4\pi r^2$

$\frac{dS}{dr} = 8\pi r$