問題1(1): 関数 $y = x^3 + x + 1$ の点 $(1, 3)$ における微分係数を求め、その点における接線の方程式を求めよ。 問題2(1): 関数 $y = \frac{1}{x}$ の微分を求めよ。 問題3(1): 関数 $y = x^x$ の導関数を求めよ。

以下に、問題 1(1), 2(1), 3(1) の解答を示します。

1. 問題の内容

問題1(1): 関数 $y = x^3 + x + 1$ の点 $(1, 3)$ における微分係数を求め、その点における接線の方程式を求めよ。

問題2(1): 関数 $y = \frac{1}{x}$ の微分を求めよ。

問題3(1): 関数 $y = x^x$ の導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

問題1(1):

1. 関数 $y = x^3 + x + 1$ を微分する。

$\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 1$

2. 点 $(1, 3)$ における微分係数を求める。

$x = 1$ を $\frac{dy}{dx}$ に代入する。

$\frac{dy}{dx}\Bigr|_{x=1} = 3(1)^2 + 1 = 4$

3. 接線の方程式を求める。

接線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で与えられる。ここで $(x_1, y_1) = (1, 3)$ であり、$m = 4$ である。

$y - 3 = 4(x - 1)$

$y = 4x - 4 + 3$

$y = 4x - 1$

問題2(1):

1. 関数 $y = \frac{1}{x} = x^{-1}$ を微分する。

$\frac{dy}{dx} = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

問題3(1):

1. 関数 $y = x^x$ の両辺の自然対数をとる。

$\ln y = \ln (x^x) = x \ln x$

2. 両辺を $x$ で微分する。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x \ln x) = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$

3. $\frac{dy}{dx}$ を求める。

$\frac{dy}{dx} = y (\ln x + 1) = x^x (\ln x + 1)$

3. 最終的な答え

問題1(1):

微分係数: 4

接線の方程式: $y = 4x - 1$

問題2(1):

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x^2}$

問題3(1):

$\frac{dy}{dx} = x^x (\ln x + 1)$