関数 $y = \cos 2x + 2\sin x$ （$-\pi \le x < \pi$）の最大値と最小値を求め、それぞれの時の $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \cos 2x + 2\sin x$ （$-\pi \le x < \pi$）の最大値と最小値を求め、それぞれの時の $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $\sin x$ の関数として表します。

$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ なので、

$y = 1 - 2\sin^2 x + 2\sin x$

ここで、$t = \sin x$ とおくと、$-\pi \le x < \pi$ より $-1 \le t \le 1$ です。

$y = -2t^2 + 2t + 1$

$y = -2(t^2 - t) + 1$

$y = -2(t - \frac{1}{2})^2 + 2(\frac{1}{4}) + 1$

$y = -2(t - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{2}$

これは $t = \frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{3}{2}$ をとります。

このとき、$\sin x = \frac{1}{2}$ であり、$x$ の範囲を考慮すると、$x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ です。

次に、最小値を考えます。$t = -1$ のとき、$y = -2(-1)^2 + 2(-1) + 1 = -2 - 2 + 1 = -3$ となります。

$t = 1$ のとき、$y = -2(1)^2 + 2(1) + 1 = -2 + 2 + 1 = 1$ となります。

よって、$t = -1$ のとき最小値 $-3$ をとります。

$\sin x = -1$ より、$x = -\frac{\pi}{2}$ です。

3. 最終的な答え

$x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ のとき最大値 $\frac{3}{2}$ をとります。

$x = -\frac{\pi}{2}$ のとき最小値 $-3$ をとります。