関数 $y = x^3 + x + 1$ の点 (1, 3) における微分係数と接線の方程式を求めます。

## 問題1(1)

1. **問題の内容**

関数 $y = x^3 + x + 1$ の点 (1, 3) における微分係数と接線の方程式を求めます。

2. **解き方の手順**

* まず、与えられた関数を微分して導関数を求めます。

$$$$

y' = \frac{d}{dx}(x^3 + x + 1) = 3x^2 + 1

$$$$

* 次に、点 (1, 3) の x 座標である x = 1 を導関数に代入して、微分係数 (接線の傾き) を求めます。

$$$$

y'(1) = 3(1)^2 + 1 = 3 + 1 = 4

$$$$

* 接線の傾きが4で、点 (1, 3) を通る接線の方程式は、次のようになります。

$$$$

y - 3 = 4(x - 1)

$$$$

$$$$

y = 4x - 4 + 3

$$$$

$$$$

y = 4x - 1

$$$$

3. **最終的な答え**

* 微分係数: 4

* 接線の方程式: $y = 4x - 1$

## 問題1(2)

1. **問題の内容**

関数 $y = \frac{1}{1+x^2}$ の点 (0, 1) における微分係数と接線の方程式を求めます。

2. **解き方の手順**

* まず、与えられた関数を微分して導関数を求めます。

$$$$

y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+x^2}\right) = \frac{d}{dx}(1+x^2)^{-1}

$$$$

$$$$

y' = -1(1+x^2)^{-2} \cdot 2x = \frac{-2x}{(1+x^2)^2}

$$$$

* 次に、点 (0, 1) の x 座標である x = 0 を導関数に代入して、微分係数 (接線の傾き) を求めます。

$$$$

y'(0) = \frac{-2(0)}{(1+0^2)^2} = \frac{0}{1} = 0

$$$$

* 接線の傾きが0で、点 (0, 1) を通る接線の方程式は、次のようになります。

$$$$

y - 1 = 0(x - 0)

$$$$

$$$$

y = 1

$$$$

3. **最終的な答え**

* 微分係数: 0

* 接線の方程式: $y = 1$

## 問題1(3)

1. **問題の内容**

関数 $y = \sin x$ の点 $(\frac{\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ における微分係数と接線の方程式を求めます。

2. **解き方の手順**

* まず、与えられた関数を微分して導関数を求めます。

$$$$

y' = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x

$$$$

* 次に、点 $(\frac{\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ の x 座標である $x = \frac{\pi}{3}$ を導関数に代入して、微分係数 (接線の傾き) を求めます。

$$$$

y'\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}

$$$$

* 接線の傾きが $\frac{1}{2}$ で、点 $(\frac{\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ を通る接線の方程式は、次のようになります。

$$$$

y - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}\left(x - \frac{\pi}{3}\right)

$$$$

$$$$

y = \frac{1}{2}x - \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}

$$$$

3. **最終的な答え**

* 微分係数: $\frac{1}{2}$

* 接線の方程式: $y = \frac{1}{2}x - \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

## 問題2(1)

1. **問題の内容**

関数 $y = \frac{1}{x}$ の微分を求めます。

2. **解き方の手順**

* 与えられた関数を微分します。 $y = \frac{1}{x} = x^{-1}$ なので、

$$$$

y' = \frac{d}{dx}(x^{-1}) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}

$$$$

3. **最終的な答え**

* $y' = -\frac{1}{x^2}$

## 問題2(2)

1. **問題の内容**

関数 $y = \sin(x^2)$ の微分を求めます。

2. **解き方の手順**

* 合成関数の微分を行います。

$$$$

y' = \frac{d}{dx}(\sin(x^2)) = \cos(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = \cos(x^2) \cdot 2x

$$$$

$$$$

y' = 2x \cos(x^2)

$$$$

3. **最終的な答え**

* $y' = 2x \cos(x^2)$

## 問題2(3)

1. **問題の内容**

関数 $y = \tan^{-1}(\sqrt{x})$ の微分を求めます。

2. **解き方の手順**

* 合成関数の微分を行います。 $\tan^{-1} u$ の微分は $\frac{1}{1+u^2}$ であり、$\sqrt{x}$ の微分は $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ です。

$$$$

y' = \frac{d}{dx}(\tan^{-1}(\sqrt{x})) = \frac{1}{1+(\sqrt{x})^2} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}

$$$$

$$$$

y' = \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}

$$$$

3. **最終的な答え**

* $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$

## 問題3(1)

1. **問題の内容**

関数 $y = x^x$ の導関数を求めます。

2. **解き方の手順**

* 両辺の自然対数を取ります。

$$$$

\ln y = \ln(x^x) = x \ln x

$$$$

* 両辺を $x$ で微分します。

$$$$

\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1

$$$$

* $\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$$$$

\frac{dy}{dx} = y(\ln x + 1) = x^x (\ln x + 1)

$$$$

3. **最終的な答え**

* $y' = x^x(\ln x + 1)$

## 問題3(2)

1. **問題の内容**

関数 $y = x^{\frac{1}{x}}$ の導関数を求めます。

2. **解き方の手順**

* 両辺の自然対数を取ります。

$$$$

\ln y = \ln(x^{\frac{1}{x}}) = \frac{1}{x} \ln x

$$$$

* 両辺を $x$ で微分します。

$$$$

\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{-\ln x}{x^2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1 - \ln x}{x^2}

$$$$

* $\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$$$$

\frac{dy}{dx} = y \frac{1 - \ln x}{x^2} = x^{\frac{1}{x}} \frac{1 - \ln x}{x^2}

$$$$

3. **最終的な答え**

* $y' = x^{\frac{1}{x}} \frac{1 - \ln x}{x^2}$

## 問題3(3)

1. **問題の内容**

関数 $y = (x+1)(x+2)(x+3)$ の導関数を求めます。

2. **解き方の手順**

* 関数を展開します。

$$$$

y = (x+1)(x^2 + 5x + 6) = x^3 + 5x^2 + 6x + x^2 + 5x + 6 = x^3 + 6x^2 + 11x + 6

$$$$

* $y$ を $x$ で微分します。

$$$$

y' = \frac{d}{dx} (x^3 + 6x^2 + 11x + 6) = 3x^2 + 12x + 11

$$$$

3. **最終的な答え**

* $y' = 3x^2 + 12x + 11$

## 問題3(4)

1. **問題の内容**

関数 $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$ の導関数を求めます。 ここで $\log$ は自然対数 $\ln$ を表すとします。

2. **解き方の手順**

* 合成関数の微分を行います。

$$$$

y' = \frac{d}{dx} \log(x + \sqrt{x^2 + 1}) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{d}{dx}(x + \sqrt{x^2 + 1})

$$$$

* $\frac{d}{dx}(x + \sqrt{x^2 + 1})$ を計算します。

$$$$

\frac{d}{dx}(x + \sqrt{x^2 + 1}) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 1}}

$$$$

* $y'$ を計算します。

$$$$

y' = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{x + \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}

$$$$

3. **最終的な答え**

* $y' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$

## 問題3(5)

1. **問題の内容**

関数 $y = a^{\log x}$ の導関数を求めます。 ここで $\log$ は自然対数 $\ln$ を表すとします。

2. **解き方の手順**

* 両辺の自然対数を取ります。

$$$$

\ln y = \ln(a^{\ln x}) = \ln x \ln a

$$$$

* 両辺を $x$ で微分します。

$$$$

\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \ln a

$$$$

* $\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$$$$

\frac{dy}{dx} = y \frac{\ln a}{x} = a^{\ln x} \frac{\ln a}{x}

$$$$

3. **最終的な答え**

* $y' = \frac{a^{\ln x} \ln a}{x}$

## 問題3(6)

1. **問題の内容**

関数 $y = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ の導関数を求めます。

2. **解き方の手順**

* 両辺の自然対数を取ります。

$$$$

\ln y = \ln\left(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \frac{1}{2}(\ln(1-x) - \ln(1+x))

$$$$

* 両辺を $x$ で微分します。

$$$$

\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}\left(\frac{-1}{1-x} - \frac{1}{1+x}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{-(1+x) - (1-x)}{(1-x)(1+x)}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{-2}{1-x^2}\right) = \frac{-1}{1-x^2} = \frac{1}{x^2-1}

$$$$

* $\frac{dy}{dx}$ について解きます。

$$$$

\frac{dy}{dx} = y \frac{1}{x^2-1} = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \cdot \frac{1}{x^2-1} = \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \cdot \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}} \cdot \frac{1}{(x-1)(x+1)}

$$$$

$$$$

y' = \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}} \cdot \frac{1}{-(1-x)(1+x)} = \frac{1}{\sqrt{1-x}(-\sqrt{1-x})} \frac{1}{\sqrt{1+x}(1+x)\sqrt{1+x}} = \frac{-1}{(1-x)\sqrt{1+x}\sqrt{1+x}\sqrt{1+x}}

$$$$

$$$$

y' = \frac{-1}{\sqrt{1+x}^3 (1-x)^{3/2}}

$$$$

別の解き方

$$$$

y' = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\frac{d}{dx}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=\frac{1}{2\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}} \frac{-2}{(1+x)^2}=-\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\frac{1}{(1+x)^2}

$$$$

$$$$

=-\frac{1}{\sqrt{(1-x)(1+x)^3}}=-\frac{1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}

$$$$

3. **最終的な答え**

* $y'=-\frac{1}{(1+x)\sqrt{1-x^2}}$