以下の4つの不定積分を計算します。 (1) $\int (3x+2)^3 dx$ (2) $\int \cos 2x dx$ (3) $\int x\sqrt{2x+1} dx$ (4) $\int \frac{x}{\sqrt{1-x}} dx$

はい、承知いたしました。画像に書かれた4つの不定積分の問題を解いてみます。

1. 問題の内容

以下の4つの不定積分を計算します。

(1) $\int (3x+2)^3 dx$

(2) $\int \cos 2x dx$

(3) $\int x\sqrt{2x+1} dx$

(4) $\int \frac{x}{\sqrt{1-x}} dx$

2. 解き方の手順

(1)

$t = 3x+2$ と置換します。すると $dt = 3dx$ より $dx = \frac{1}{3}dt$ となります。

よって、

$\int (3x+2)^3 dx = \int t^3 \cdot \frac{1}{3} dt = \frac{1}{3} \int t^3 dt = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} t^4 + C = \frac{1}{12} (3x+2)^4 + C$

(2)

$t = 2x$ と置換します。すると $dt = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2}dt$ となります。

よって、

$\int \cos 2x dx = \int \cos t \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int \cos t dt = \frac{1}{2} \sin t + C = \frac{1}{2} \sin 2x + C$

(3)

$t = \sqrt{2x+1}$ と置換します。すると $t^2 = 2x+1$ より $x = \frac{1}{2}(t^2 - 1)$ となります。また、$2t dt = 2dx$ より $dx = t dt$ となります。

よって、

$\int x\sqrt{2x+1} dx = \int \frac{1}{2}(t^2 - 1) \cdot t \cdot t dt = \frac{1}{2} \int (t^4 - t^2) dt = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{5} t^5 - \frac{1}{3} t^3 \right) + C = \frac{1}{10} t^5 - \frac{1}{6} t^3 + C = \frac{1}{10} (2x+1)^{5/2} - \frac{1}{6} (2x+1)^{3/2} + C = \frac{1}{10}(2x+1)^2 \sqrt{2x+1} - \frac{1}{6}(2x+1) \sqrt{2x+1} + C$

(4)

$t = \sqrt{1-x}$ と置換します。すると $t^2 = 1-x$ より $x = 1-t^2$ となります。また、$2t dt = -dx$ より $dx = -2t dt$ となります。

よって、

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x}} dx = \int \frac{1-t^2}{t} (-2t) dt = -2 \int (1-t^2) dt = -2 (t - \frac{1}{3} t^3) + C = -2t + \frac{2}{3} t^3 + C = -2 \sqrt{1-x} + \frac{2}{3} (1-x)^{3/2} + C = \frac{2}{3} (1-x)\sqrt{1-x} - 2\sqrt{1-x} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{12}(3x+2)^4 + C$

(2) $\frac{1}{2} \sin 2x + C$

(3) $\frac{1}{10}(2x+1)^{5/2} - \frac{1}{6}(2x+1)^{3/2} + C$

(4) $\frac{2}{3} (1-x)\sqrt{1-x} - 2\sqrt{1-x} + C$