与えられた無限等比級数 $1 - \frac{x-1}{3} + \frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(x-1)^3}{27} + \cdots$ が収束するような実数 $x$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた無限等比級数 $1 - \frac{x-1}{3} + \frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(x-1)^3}{27} + \cdots$ が収束するような実数 $x$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

この無限級数は、初項が1、公比が $-\frac{x-1}{3}$ の等比級数です。

無限等比級数が収束するための条件は、公比 $r$ が $-1 < r < 1$ を満たすことです。

したがって、

$$-1 < -\frac{x-1}{3} < 1$$

という不等式を解く必要があります。

まず、不等式の各辺に $-1$ をかけます。不等号の向きが変わることに注意してください。

$$-1 < \frac{x-1}{3} < 1$$

次に、不等式の各辺に $3$ をかけます。

$$-3 < x-1 < 3$$

最後に、不等式の各辺に $1$ を加えます。

$$-3+1 < x < 3+1$$

$$-2 < x < 4$$

3. 最終的な答え

したがって、無限等比級数が収束するような実数 $x$ の範囲は $-2 < x < 4$ です。