与えられた関数 $f(x, y) = 5x^2 + 4xy - 20x - 3y^2 - 46y$ の極値を求めます。まず、$f_x(x, y) = 0$ と $f_y(x, y) = 0$ を満たす解 $(x, y) = (\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2)$ を求めます。次に、ヘッセ行列 $H(x, y)$ を計算し、それぞれの点 $(\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2)$ での $f_{xx}$ の値とヘッセ行列式 $|H|$ の値を計算し、極値判定を行います。

はい、承知いたしました。画像に写っている数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y) = 5x^2 + 4xy - 20x - 3y^2 - 46y$ の極値を求めます。まず、$f_x(x, y) = 0$ と $f_y(x, y) = 0$ を満たす解 $(x, y) = (\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2)$ を求めます。次に、ヘッセ行列 $H(x, y)$ を計算し、それぞれの点 $(\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2)$ での $f_{xx}$ の値とヘッセ行列式 $|H|$ の値を計算し、極値判定を行います。

2. 解き方の手順

まず、偏微分を計算します。

$f_x(x, y) = 10x + 4y - 20$

$f_y(x, y) = 4x - 6y - 46$

次に、$f_x(x, y) = 0$ と $f_y(x, y) = 0$ を解きます。

$10x + 4y - 20 = 0$

$4x - 6y - 46 = 0$

上の式を整理します。

$5x + 2y = 10$

$2x - 3y = 23$

連立方程式を解きます。最初の式を3倍、次の式を2倍して足し合わせると

$15x + 6y = 30$

$4x - 6y = 46$

$19x = 76$

$x = 4$

$x = 4$ を最初の式に代入すると

$5(4) + 2y = 10$

$20 + 2y = 10$

$2y = -10$

$y = -5$

したがって、$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ となる解は一つだけで、 $(\alpha_1, \beta_1) = (4, -5)$ となります。これは $(\alpha_1, \beta_1)$であり、もう一つの解 $(\alpha_2, \beta_2)$ が存在しないので、２つ目の座標は存在しません。したがって計算を続行できません。

したがって$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ となる解は、 $(x, y) = (4, -5)$ です。つまり、$\alpha_1 = 4$, $\beta_1 = -5$。

この情報を使って、この点における関数のヘッセ行列と$f_{xx}$の値を求めることができます。

次に、二階偏微分を計算します。

$f_{xx}(x, y) = 10$

$f_{yy}(x, y) = -6$

$f_{xy}(x, y) = f_{yx}(x, y) = 4$

ヘッセ行列は次のようになります。

$H(x, y) = \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 4 \\ 4 & -6 \end{bmatrix}$

点 $(\alpha_1, \beta_1) = (4, -5)$ での $f_{xx}$ の値は $f_{xx}(4, -5) = 10$ です。

ヘッセ行列式は $|H(x, y)| = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$ なので、

$|H(4, -5)| = (10)(-6) - (4)^2 = -60 - 16 = -76$ です。

$f_{xx}(4, -5) = 10 > 0$ であり、$|H(4, -5)| = -76 < 0$ であるから、点 $(4, -5)$ は鞍点です。

3. 最終的な答え

$\alpha_1 = 4$

$\beta_1 = -5$

$\alpha_2$ および $\beta_2$ は存在しません。

$f_{xx}(\alpha_1, \beta_1) = f_{xx}(4, -5) = 10$

$|H(\alpha_1, \beta_1)| = |H(4, -5)| = -76$

ヘッセ行列は $\begin{bmatrix} 10 & 4 \\ 4 & -6 \end{bmatrix}$ であり、$|H| < 0$ であるから鞍点となる。

$f_{xx}(\alpha_2, \beta_2)$ と $|H(\alpha_2, \beta_2)|$ は定義できません。