関数 $y = x^3 + x + 1$ の点 $(1, 3)$ における微分を求め、その点での接線の方程式を求めます。

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、1番の問題(1)を解きます。

1. 問題の内容

関数 $y = x^3 + x + 1$ の点 $(1, 3)$ における微分を求め、その点での接線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、関数 $y$ の導関数 $y'$ を求めます。

$y = x^3 + x + 1$ を $x$ で微分すると、

$y' = 3x^2 + 1$

次に、$x = 1$ における $y'$ の値を求めます。これは点 $(1, 3)$ における接線の傾きに相当します。

$y'(1) = 3(1)^2 + 1 = 3 + 1 = 4$

したがって、点 $(1, 3)$ における接線の傾きは $4$ です。

次に、点 $(1, 3)$ を通り、傾きが $4$ である直線の方程式を求めます。

直線の方程式は $y - y_1 = m(x - x_1)$ で表されます。ここで $(x_1, y_1) = (1, 3)$ であり、$m = 4$ です。

したがって、接線の方程式は

$y - 3 = 4(x - 1)$

$y - 3 = 4x - 4$

$y = 4x - 1$

3. 最終的な答え

点 $(1, 3)$ における微分係数は $4$ であり、接線の方程式は $y = 4x - 1$ です。