与えられた関数 $f(x,y) = -3x^2 - 12xy - 24x + y^3 - 3y$ の極値を求めるために、以下の手順で問題を解きます。 まず、$f_x(x,y) = 0$ と $f_y(x,y) = 0$ を満たす $(x,y) = (\alpha_1, \beta_1)$、$(\alpha_2, \beta_2)$ を求めます。 次に、ヘッセ行列 $H(x,y)$ を求め、それぞれの点 $(\alpha_1, \beta_1)$、$(\alpha_2, \beta_2)$ での $f_{xx}$ の値とヘッセ行列の行列式 $|H|$ の値を計算します。 最後に、ヘッセ行列の行列式の符号によって、極大値、極小値、または鞍点であるかを判定します。

はい、承知いたしました。与えられた関数 $f(x,y) = -3x^2 - 12xy - 24x + y^3 - 3y$ の極値を求める問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x,y) = -3x^2 - 12xy - 24x + y^3 - 3y$ の極値を求めるために、以下の手順で問題を解きます。

まず、$f_x(x,y) = 0$ と $f_y(x,y) = 0$ を満たす $(x,y) = (\alpha_1, \beta_1)$、$(\alpha_2, \beta_2)$ を求めます。

次に、ヘッセ行列 $H(x,y)$ を求め、それぞれの点 $(\alpha_1, \beta_1)$、$(\alpha_2, \beta_2)$ での $f_{xx}$ の値とヘッセ行列の行列式 $|H|$ の値を計算します。

最後に、ヘッセ行列の行列式の符号によって、極大値、極小値、または鞍点であるかを判定します。

2. 解き方の手順

ステップ1: 偏微分を計算する。

$f_x = -6x - 12y - 24$

$f_y = -12x + 3y^2 - 3$

ステップ2: 連立方程式 $f_x = 0$ と $f_y = 0$ を解く。

$-6x - 12y - 24 = 0$

$-12x + 3y^2 - 3 = 0$

最初の式を整理すると、

$x = -2y - 4$

これを2番目の式に代入すると、

$-12(-2y - 4) + 3y^2 - 3 = 0$

$24y + 48 + 3y^2 - 3 = 0$

$3y^2 + 24y + 45 = 0$

$y^2 + 8y + 15 = 0$

$(y + 3)(y + 5) = 0$

$y = -3, -5$

$y = -3$ のとき、$x = -2(-3) - 4 = 6 - 4 = 2$

$y = -5$ のとき、$x = -2(-5) - 4 = 10 - 4 = 6$

したがって、$(\alpha_1, \beta_1) = (2, -3)$、$(\alpha_2, \beta_2) = (6, -5)$

ステップ3: 二階偏微分を計算する。

$f_{xx} = -6$

$f_{yy} = 6y$

$f_{xy} = -12$

$f_{yx} = -12$

ステップ4: ヘッセ行列 $H(x,y)$ を計算する。

$H(x,y) = \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & -12 \\ -12 & 6y \end{bmatrix}$

ステップ5: 点 $(2, -3)$ での $f_{xx}$ と $|H|$ の値を計算する。

$f_{xx}(2, -3) = -6$

$|H(2, -3)| = (-6)(6(-3)) - (-12)(-12) = (-6)(-18) - 144 = 108 - 144 = -36$

ステップ6: 点 $(6, -5)$ での $f_{xx}$ と $|H|$ の値を計算する。

$f_{xx}(6, -5) = -6$

$|H(6, -5)| = (-6)(6(-5)) - (-12)(-12) = (-6)(-30) - 144 = 180 - 144 = 36$

3. 最終的な答え

$\alpha_1 = 2$

$\beta_1 = -3$

$\alpha_2 = 6$

$\beta_2 = -5$

$f_{xx}(2, -3) = -6$

$|H(2, -3)| = -36$

ヘッセ行列は負定値行列ではないため、鞍点です。

$f_{xx}(6, -5) = -6$

$|H(6, -5)| = 36$

ヘッセ行列は正定値行列ではないため、極大値でも極小値でもありません。サドル点です。

$f_{xx}(6,-5) < 0$, $H(6,-5) > 0$ より、$(6, -5)$ は極大値を与える。