与えられた関数 $f(x, y) = 288x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}} - 16x - 9y$ (ただし $x, y > 0$) の極値を求める問題です。まず、$f_x(x, y) = f_y(x, y) = 0$ を満たす $(x, y)$ の解 $(\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2)$ を求め、次にヘッセ行列 $H(x, y)$ を用いて、それぞれの点における極値を判定します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y) = 288x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}} - 16x - 9y$ (ただし $x, y > 0$) の極値を求める問題です。まず、$f_x(x, y) = f_y(x, y) = 0$ を満たす $(x, y)$ の解 $(\alpha_1, \beta_1), (\alpha_2, \beta_2)$ を求め、次にヘッセ行列 $H(x, y)$ を用いて、それぞれの点における極値を判定します。

2. 解き方の手順

(1) 偏導関数 $f_x$ と $f_y$ を求める。

$f_x(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} = 288 \cdot \frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}} y^{\frac{1}{4}} - 16 = 72 x^{-\frac{3}{4}} y^{\frac{1}{4}} - 16$

$f_y(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y} = 288 \cdot \frac{1}{4} x^{\frac{1}{4}} y^{-\frac{3}{4}} - 9 = 72 x^{\frac{1}{4}} y^{-\frac{3}{4}} - 9$

(2) $f_x(x, y) = 0$ と $f_y(x, y) = 0$ を連立して解く。

$72 x^{-\frac{3}{4}} y^{\frac{1}{4}} = 16$ --- (1)

$72 x^{\frac{1}{4}} y^{-\frac{3}{4}} = 9$ --- (2)

(1) / (2) を計算すると、

$\frac{x^{-\frac{3}{4}} y^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{4}} y^{-\frac{3}{4}}} = \frac{16}{9}$

$\frac{y}{x} = \frac{16}{9}$

$y = \frac{16}{9}x$

これを(2)に代入すると、

$72 x^{\frac{1}{4}} (\frac{16}{9}x)^{-\frac{3}{4}} = 9$

$72 x^{\frac{1}{4}} (\frac{9}{16})^{\frac{3}{4}} x^{-\frac{3}{4}} = 9$

$72 (\frac{9}{16})^{\frac{3}{4}} x^{-\frac{1}{2}} = 9$

$x^{-\frac{1}{2}} = \frac{9}{72} (\frac{16}{9})^{\frac{3}{4}}$

$x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{8} (\frac{16}{9})^{\frac{3}{4}}$

$x^{\frac{1}{2}} = 8 (\frac{9}{16})^{\frac{3}{4}}$

$x^{\frac{1}{2}} = 8 (\frac{3}{2})^{\frac{3}{2}} = 8 (\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}})$

$x^{\frac{1}{2}} = 4 \cdot 3 \sqrt{\frac{3}{2}} = 12 \sqrt{\frac{3}{2}} = 6 \sqrt{6}$

$x = 36 \cdot 6 = 216$

$y = \frac{16}{9} \cdot 216 = 16 \cdot 24 = 384$

したがって、$(\alpha_1, \beta_1) = (216, 384)$

(3) 二階偏導関数を計算する。

$f_{xx}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 72 \cdot (-\frac{3}{4}) x^{-\frac{7}{4}} y^{\frac{1}{4}} = -54 x^{-\frac{7}{4}} y^{\frac{1}{4}}$

$f_{yy}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 72 \cdot (-\frac{3}{4}) x^{\frac{1}{4}} y^{-\frac{7}{4}} = -54 x^{\frac{1}{4}} y^{-\frac{7}{4}}$

$f_{xy}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 72 \cdot \frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}} (-\frac{3}{4}) y^{-\frac{3}{4}} = 18 x^{-\frac{3}{4}} (-\frac{3}{4}) y^{-\frac{3}{4}} = 18 x^{-\frac{3}{4}} y^{-\frac{3}{4}}$

$f_{xy}(x, y) = 18x^{-\frac{3}{4}}y^{-\frac{3}{4}}$

(4) ヘッセ行列 $H(x, y)$ を計算する。

$H(x, y) = \begin{vmatrix} f_{xx}(x, y) & f_{xy}(x, y) \\ f_{yx}(x, y) & f_{yy}(x, y) \end{vmatrix} = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$

(5) $(\alpha_1, \beta_1) = (216, 384)$におけるヘッセ行列の値を計算する。

$f_{xx}(216, 384) = -54 \cdot 216^{-\frac{7}{4}} \cdot 384^{\frac{1}{4}} = -54 \cdot (6^3)^{-\frac{7}{4}} \cdot (64 \cdot 6)^{\frac{1}{4}}$

$= -54 \cdot 6^{-\frac{21}{4}} \cdot (2^6 \cdot 6)^{\frac{1}{4}} = -54 \cdot 6^{-\frac{21}{4}} \cdot 2^{\frac{6}{4}} \cdot 6^{\frac{1}{4}} = -54 \cdot 2^{\frac{3}{2}} \cdot 6^{-5}$

$= -54 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 6^{-5}$

$f_{xx}(216, 384) = -54 \cdot (216)^{-\frac{7}{4}} \cdot (384)^{\frac{1}{4}} = -54 \cdot 216^{-7/4} \cdot 384^{1/4} \approx -0.00075$

$f_{yy}(216, 384) = -54 \cdot 216^{\frac{1}{4}} \cdot 384^{-\frac{7}{4}} = -54 \cdot (6^3)^{\frac{1}{4}} \cdot (2^7*3)^{-\frac{7}{4}}$

$f_{xy}(216, 384) = 18 \cdot 216^{-\frac{3}{4}} \cdot 384^{-\frac{3}{4}}$

ここで計算が困難なので、別のやり方で考えます。

$72 x^{-\frac{3}{4}} y^{\frac{1}{4}} = 16$ --- (1)

$72 x^{\frac{1}{4}} y^{-\frac{3}{4}} = 9$ --- (2)

(1)より $y^{\frac{1}{4}} = \frac{16}{72} x^{\frac{3}{4}} = \frac{2}{9} x^{\frac{3}{4}}$

$f_{xx}(x,y) = -54 x^{-\frac{7}{4}} y^{\frac{1}{4}} = -54 x^{-\frac{7}{4}} \cdot \frac{2}{9} x^{\frac{3}{4}} = -12 x^{-1}$

$f_{yy}(x,y) = -54 x^{\frac{1}{4}} y^{-\frac{7}{4}}$

(2)より $x^{\frac{1}{4}} = \frac{9}{72} y^{\frac{3}{4}} = \frac{1}{8} y^{\frac{3}{4}}$

$f_{yy}(x,y) = -54 y^{-\frac{7}{4}} \cdot \frac{1}{8} y^{\frac{3}{4}} = -\frac{27}{4} y^{-1}$

$f_{xy}(x,y) = 18 x^{-\frac{3}{4}} y^{-\frac{3}{4}}$

$72 x^{-\frac{3}{4}} y^{\frac{1}{4}} = 16$ より、$x^{-\frac{3}{4}} y^{-\frac{3}{4}} y = x^{-\frac{3}{4}} y^{-\frac{3}{4}}\frac{16}{9}x$

$f_{xy}(x,y) = 18 x^{-\frac{3}{4}} y^{-\frac{3}{4}} = 18 \cdot (\frac{16x}{9} ) = 18 \cdot 1$

$x^{-\frac{3}{4}}y^{\frac{1}{4}}=\frac{2}{9}$

$72x^{-3/4}y^{1/4} = 16 = y^{1/4}=\frac{2}{9}x^{3/4}$

$f_{xy} = 18x^{{-3/4}} y^{{-3/4}}$

$H= f_{xx} f_{yy} - f_{xy}{^2}$

$y=16x/9$

$H(x,y) = (-12x^{-1})(-\frac{27}{4} y^{-1}) - (1)^2$

$=-27/2 (-2/3 x)^3 - x

$f_{xy}(x,y) = 1$

$f_{xx}(216) = -12/216 = -1/18$

$f_{yy}(384) = -27/(4*384)=-9/512$

$H = (-1/18)(-9/512) - 1=1/256/8$

2. 最終的な答え

$\alpha_1 = 216$, $\beta_1 = 384$

$f_{xx}(\alpha_1, \beta_1) = -1/18$

$|H(\alpha_1, \beta_1)|=0$

ヘッセ行列は負定値であるから、極大値を取る

$f_{xx}(\alpha_2, \beta_2) =-16$