与えられた3つの関数について、その増減を調べる問題です。関数はそれぞれ以下の通りです。 (1) $f(x) = x^3 - 3x + 2$ (2) $f(x) = -x^3 + 1$ (3) $f(x) = 2x^3 + 3x$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、その増減を調べる問題です。関数はそれぞれ以下の通りです。

(1) $f(x) = x^3 - 3x + 2$

(2) $f(x) = -x^3 + 1$

(3) $f(x) = 2x^3 + 3x$

2. 解き方の手順

各関数について、導関数を求め、導関数の符号を調べることで、関数の増減を判断します。

(1) $f(x) = x^3 - 3x + 2$ の場合：

まず、導関数を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 3$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 3 = 0$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

$x < -1$ のとき $f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は増加します。

$-1 < x < 1$ のとき $f'(x) < 0$ なので、$f(x)$ は減少します。

$x > 1$ のとき $f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は増加します。

(2) $f(x) = -x^3 + 1$ の場合：

まず、導関数を求めます。

$f'(x) = -3x^2$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$-3x^2 = 0$

$x = 0$

$x \neq 0$ のとき $f'(x) < 0$ なので、$f(x)$ は常に減少します。

(3) $f(x) = 2x^3 + 3x$ の場合：

まず、導関数を求めます。

$f'(x) = 6x^2 + 3$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$6x^2 + 3 = 0$

$x^2 = -\frac{1}{2}$

実数解は存在しません。

任意の $x$ に対して $f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は常に増加します。

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = x^3 - 3x + 2$

- $x < -1$ のとき増加

- $-1 < x < 1$ のとき減少

- $x > 1$ のとき増加

(2) $f(x) = -x^3 + 1$

- 常に減少

(3) $f(x) = 2x^3 + 3x$

- 常に増加