次の微分方程式を解く。 1. $(\frac{df}{dx})^2 + 4\frac{df}{dx} + 3 = 0$

1. 問題の内容

次の微分方程式を解く。

1. $(\frac{df}{dx})^2 + 4\frac{df}{dx} + 3 = 0$

2. $\log(\frac{df}{dx}) + x + 2 = 0$

3. $\tan(\frac{df}{dx}) - x = 0$

2. 解き方の手順

1. $(\frac{df}{dx})^2 + 4\frac{df}{dx} + 3 = 0$ の場合：

$\frac{df}{dx}$ を一つの文字 $u$ とみなすと、方程式は $u^2 + 4u + 3 = 0$ となる。

この二次方程式を因数分解すると $(u+1)(u+3) = 0$ となる。

したがって、$u = -1$ または $u = -3$。

$\frac{df}{dx} = -1$ の場合：

$df = -dx$

両辺を積分すると、$f = -x + C_1$ （$C_1$は積分定数）。

$\frac{df}{dx} = -3$ の場合：

$df = -3dx$

両辺を積分すると、$f = -3x + C_2$ （$C_2$は積分定数）。

2. $\log(\frac{df}{dx}) + x + 2 = 0$ の場合：

$\log(\frac{df}{dx}) = -x - 2$

$\frac{df}{dx} = e^{-x-2}$

$df = e^{-x-2}dx$

両辺を積分すると、$f = -e^{-x-2} + C$ （$C$は積分定数）。

3. $\tan(\frac{df}{dx}) - x = 0$ の場合：

$\tan(\frac{df}{dx}) = x$

$\frac{df}{dx} = \arctan(x)$

$df = \arctan(x)dx$

両辺を積分すると、$f = \int \arctan(x)dx$

$\int \arctan(x) dx = x\arctan(x) - \int \frac{x}{1+x^2}dx = x\arctan(x) - \frac{1}{2}\log(1+x^2) + C$ （$C$は積分定数）。

よって、$f = x\arctan(x) - \frac{1}{2}\log(1+x^2) + C$

3. 最終的な答え

1. $f = -x + C_1$ または $f = -3x + C_2$

2. $f = -e^{-x-2} + C$

3. $f = x\arctan(x) - \frac{1}{2}\log(1+x^2) + C$